纳什均衡和帕累托最优的相关定理

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1、973-认知无线网络项目认知无线网络行为分析与网络效能研究V1.0.0(2011-04-26)973项目;认知无线网络的全局性能优化;纳什均衡及帕累托最优的相关定理;973-认知无线网络项目简介本文档主要分两大部分:Ø第一部分,主要是纳什均衡的存在性与唯一性证明定理。Ø第二部分,帕累托最优的相关定理。1.纳什均衡纳什均衡定义行动组合是纳什均衡,则对于任意参与者,有:简言之,就是给定其他参与者策略的情况下,每个参与者选择使自己效用最大化的策略。所有参与者的策略构成的组合即为纳什均衡。1.1存在性定理定理2

2、.1.1[[]C.U.Saraydar,N.B.Mandayam,andD.J.Goodman,“Efficientpowercontrolviapricinginwirelessdatanetworks,”IEEETransactionsonCommunications,vol.50,pp.291–303,February2002.][[]D.FudenbergandJ.Tirole,GameTheory.Cambridge,MA:MITPress,1991.]:(1)对所有的,策略空间是欧式空间中一个

3、非空的、紧的凸集;(2)效用函数是连续的且对是拟凹的。说明:Ø在数学中,欧几里得空间的子集S是紧的,如果它是闭合的并且是有界的。(注:若不是在欧式空间中,闭合且有界的集合不一定是紧集。)Ø如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点,那么这个集合是闭集。ØS是凸集是指,对满足的,只要,那么就有。简单而言,就是S中的任何两点之间的直线段都属于S。图21左图为凸集,右图为非凸集973-认知无线网络项目定理2.1.2[[]D.Topkis,“Equilibriumpointsinnon-zerosumn-pe

4、rsonsubmodulargames,”SIAMJ.ControlOptim.,vol.17,no.6,pp.773–787,1979.]:如果一个博弈G是S-模博弈(S-modulargames,SMG),则至少存在一个纯纳什均衡。定义1(S-模博弈S-modulargames,SMG)一个博弈G,如果满足:(1),是欧式空间中的一个紧集;(2)在s上是上半连续;(3),是不减的。则称G为超模博弈。说明:Ø上半连续:设X为拓扑空间,,而为实值函数。若对每个都存在x0的开邻域U使得,则称f在x0上半连

5、续。该条件也可以用上极限等价地表述:图22上半连续函数的例子(蓝点表)图23下半连续函数的例子(蓝点表)Ø进一步地,若任意具有二阶导,对于所有的,满足(1),则该博弈称为超模博弈(Supermodulargames)。973-认知无线网络项目(1)同理,满足(2)式,称为次模博弈(Submodulargames)。(2)超模博弈和次模博弈统称为S-模博弈S-modulargames(SMG)。定理2.1.3[[]G.Scutari,S.Barbarossa,andD.P.Palomar,“Poten

6、tialgames:Aframeworkforvectorpowercontrolproblemswithcoupledconstraints,”inProc.IEEEInt.Conf.Acoustics,SpeechandSignalProcessing,Toulouse,France,May2006,vol.4,pp.241–244.]:如果一个有有限个参与者的博弈是位势博弈(Potentialgames,PGs),且策略集合是紧的,效用函数是连续的,则至少存在一个纯纳什均衡。定义2(严格位势博弈E

7、xactPotentialgames,EPGs)如果存在一个函数,满足,有如果处处二次可微时,一个博弈是EPGs的充分条件是类似地,满足,则定义为次序位势博弈Ordinalpotentialgames。1.1唯一性定理定理2.2.1[4]:对于一个PGs,如果(1)策略组合是紧的、凸的;(2)P是在上连续可微函数,且对是严格凹的,则纳什均衡唯一。定理2.2.2[[]R.D.Yates,“Aframeworkforuplinkpowercontrolincellularradiosystems,”IEEE

8、J.Select.AreasCommun.,vol.13,pp.1341–1347,1995.5.更新纪录版本号修改日期修改人修改细节备注V1.0.011-11-22张双露初稿]:如果最佳响应函数是标准的,则存在唯一纳什均衡。定义3(标准函数)是标准函数,应满足:(1)正:;(2)单调性:;(3)可扩展性:。973-认知无线网络项目定义4(最佳响应BestResponse)1.帕累托最优帕累托最优定义一个策略组合称为帕累托最优,如果不存在其

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