纳什均衡和帕累托最优的相关定理

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1、973-认知无线网络项目认知无线网络行为分析与网络效能研究V1.0.0(2011-04-26)973项目；认知无线网络的全局性能优化；纳什均衡及帕累托最优的相关定理；973-认知无线网络项目简介本文档主要分两大部分：Ø第一部分，主要是纳什均衡的存在性与唯一性证明定理。Ø第二部分，帕累托最优的相关定理。1.纳什均衡纳什均衡定义行动组合是纳什均衡，则对于任意参与者，有：简言之，就是给定其他参与者策略的情况下，每个参与者选择使自己效用最大化的策略。所有参与者的策略构成的组合即为纳什均衡。1.1存在性定理定理2

2、.1.1[[]C.U.Saraydar,N.B.Mandayam,andD.J.Goodman,“Efficientpowercontrolviapricinginwirelessdatanetworks,”IEEETransactionsonCommunications,vol.50,pp.291–303,February2002.][[]D.FudenbergandJ.Tirole,GameTheory.Cambridge,MA:MITPress,1991.]：（1）对所有的，策略空间是欧式空间中一个

3、非空的、紧的凸集；（2）效用函数是连续的且对是拟凹的。说明：Ø在数学中，欧几里得空间的子集S是紧的，如果它是闭合的并且是有界的。（注：若不是在欧式空间中，闭合且有界的集合不一定是紧集。）Ø如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。ØS是凸集是指，对满足的，只要，那么就有。简单而言，就是S中的任何两点之间的直线段都属于S。图21左图为凸集，右图为非凸集973-认知无线网络项目定理2.1.2[[]D.Topkis,“Equilibriumpointsinnon-zerosumn-pe

4、rsonsubmodulargames,”SIAMJ.ControlOptim.,vol.17,no.6,pp.773–787,1979.]：如果一个博弈G是S-模博弈（S-modulargames，SMG），则至少存在一个纯纳什均衡。定义1（S-模博弈S-modulargames，SMG）一个博弈G，如果满足：（1），是欧式空间中的一个紧集；（2）在s上是上半连续；（3），是不减的。则称G为超模博弈。说明：Ø上半连续：设X为拓扑空间，，而为实值函数。若对每个都存在x0的开邻域U使得，则称f在x0上半连

5、续。该条件也可以用上极限等价地表述：图22上半连续函数的例子（蓝点表）图23下半连续函数的例子（蓝点表）Ø进一步地，若任意具有二阶导，对于所有的，满足（1），则该博弈称为超模博弈（Supermodulargames）。973-认知无线网络项目(1)同理，满足（2）式，称为次模博弈（Submodulargames）。(2)超模博弈和次模博弈统称为S-模博弈S-modulargames（SMG）。定理2.1.3[[]G.Scutari,S.Barbarossa,andD.P.Palomar,“Poten

6、tialgames:Aframeworkforvectorpowercontrolproblemswithcoupledconstraints,”inProc.IEEEInt.Conf.Acoustics,SpeechandSignalProcessing,Toulouse,France,May2006,vol.4,pp.241–244.]：如果一个有有限个参与者的博弈是位势博弈（Potentialgames，PGs），且策略集合是紧的，效用函数是连续的，则至少存在一个纯纳什均衡。定义2（严格位势博弈E

7、xactPotentialgames，EPGs）如果存在一个函数，满足,有如果处处二次可微时，一个博弈是EPGs的充分条件是类似地，满足，则定义为次序位势博弈Ordinalpotentialgames。1.1唯一性定理定理2.2.1[4]：对于一个PGs，如果（1）策略组合是紧的、凸的；（2）P是在上连续可微函数，且对是严格凹的，则纳什均衡唯一。定理2.2.2[[]R.D.Yates,“Aframeworkforuplinkpowercontrolincellularradiosystems,”IEEE

8、J.Select.AreasCommun.,vol.13,pp.1341–1347,1995.5.更新纪录版本号修改日期修改人修改细节备注V1.0.011-11-22张双露初稿]：如果最佳响应函数是标准的，则存在唯一纳什均衡。定义3（标准函数）是标准函数，应满足：（1）正：；（2）单调性：；（3）可扩展性：。973-认知无线网络项目定义4（最佳响应BestResponse）1.帕累托最优帕累托最优定义一个策略组合称为帕累托最优，如果不存在其