2013泛函分析文理试题填空题

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1、填空题（每空２分，共１００分）1设是一个集合，若对于中任意两个元素，都有唯一确定的实数与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)___________________.(2)_______________(3)_______________则称是与的距离，称为度量空间.2设是度量空间，是中点列，如果______________，则称是中的科西点列.如果度量空间中______________，则称是的完备的度量空间.3设是度量空间，是到中的映射，如果________________,则称是压缩映射.若是完备度量空间上的压缩映射，则

2、____________.4设是实或复的线性空间，如果对每个向量，有一个确定的实数，记为与之对应，并且满足(1)__________________;(2)________________;(3)________________,则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间.设是中的点列，如果存在，使__________，则称依范数收敛于.赋范线性空间中任意两点之间的距离定义为_________.5解释下列集合，并在其上定义范数，使之成为赋范线性空间（例，=）(1)_______________________,___________

3、________(2)，____________________,____________________6设和是两个同为（实或复）的线性空间，是到中的映射，如果对任何和数，有(1)_____________________;(2)__________________，则称为到中的线性算子.7设和是两个赋范线性空间，是的线性子空间到中的线性算子，如果_____________________，则称为到中的有界线性算子.其范数定义为__________.且的范数还可以表示为＿＿＿＿＿＿．设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则是

4、有界算子的充要条件为是上的＿＿＿＿＿＿算子．8赋范线性空间的共轭空间指的是__________________.任何附范线性空间的共轭空间都是____________.__________，__________.9（Holder不等式）设，，，，那么在上_____，并且成立________.（Minkowski不等式）设，，那么_______，并且成立不等式_______.10设是复线性空间，如果对中任何两个向量有一复数与之对应，并且满足(1)___________，(2)____________(3)____________则称为

5、的内积，称为内积空间.是内积空间，，则的范数定义为_________，__________.并且成立下面的施瓦茨不等式_________.11解释下面的集合，并在其上定义内积使之称为内积空间___________________,________________12设是内积空间，,若，则_____,且_______.13(投影定理)设是Hilbert空间的闭子空间，那么成立____________.14设是内积空间中的可数规范正交系，则，________,且___________.15(Riesz定理)设是Hilbert空间，是上连

6、续线性泛函，那么____________＿＿，使得对每个，有______，且________.16设和是两个Hilbert空间，，是的共轭算子，则，＿＿＿＿＿＿＿．1７设是Hilbert空间到中的有界线性算子，若＿＿＿＿，则称为上的自伴算子，若＿＿＿＿＿＿，则称为上的正常算子，若＿＿＿＿＿＿＿，则称为上的酉算子．