二次函数的最值问题

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1、3.二次函数的区间最值问题二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．我们知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个区间内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．例1当时，求函数的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．解：作出函数的图象．当时，，当

2、时，．例2当时，求函数的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例3当时，求函数的取值范围．解：作出函数在内的图象．可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．例4当时，求函数的最小值(其中为常数)．分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的

3、相对位置．解：函数的对称轴为．画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；(2)当对称轴在所给范围之间．即时：当时，；(3)当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，．综上所述：在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1)由已知得每

4、件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为，又．(2)由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下当时，当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．练习：1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。2.已知，求函数的最值.3.已知，且，求函数的最值。4.已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a的值。5.如果函数定义在区间上，求的最小值。6.设函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式。总结：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）区间最值问题函数y

5、=ax2+bx+c=a（x-h）2+k（m≤x≤n（m＜n））的图象是抛物线上的一段曲线，这时函数y=ax2+bx+c=a（x-h）2+k（m≤x≤n（m＜n））就即有最大值，也有最小值。y=ax2+bx+c=a（x-h）2+km≤x≤n（m＜n）a＞0当x=m时y取得最大值当x=n时y取得最小值a＜0当x=m时y取得最小值当x=n时y取得最大值当x=m时y取得最大值当x=h时y取得最小值当x=m时y取得最小值当x=h时y取得最大值当x=n时y取得最大值当x=h时y取得最小值当x=n时y取得最小值当x=h时y取得最大值

6、当x=m时y取得最小值当x=n时当x=m时y取得最大值当x=n时y取得最大值y取得最小值练习答案：1.2,-2；2.，；3.最小值是，最大值是；4.；5.；6.