06 例说数学解题的思维过程

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1、例说数学解题的思维过程陕西师范大学数学系 罗增儒在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注．暴露概念的形成过程，暴露命题的发现过程，暴露证明的探究过程等，包括暴露这些过程中犯错误的真实活动．但是，这种暴露大多停留在可见事实的陈述上，内在思维性质的细致揭示不多，也常常进行到思路初步打通、结论初步得出时就停了下来．本文想从解题分析的角度提供一个简单例子，展示内在的思维过程，并在证明得出之后仍继续进行下去，先给出题目：两直线被第三条直线所截，内错角相等，则两直线平行．1．浮现数学表象．通过认真阅读，

2、我们接收到题目所提供的信息，首先在脑子里出现了一个图形（几何型表象），与这个图形相伴随的是一个问题（代数型表象）：由数量关系去确定位置关系．图1在问题的牵引下，思维的齿轮开始启动，有3个展开的起点．（1）由图形表象，我们回想起“三线八角”基本图形，回想起与此图形有关的命题，如两直线被第三条直线所截，有：1）同位角相等两直线平行；2）内错角相等两直线平行．……这些命题的附图，在我们脑海里逐幅浮现出来．（2）由条件∠1＝∠2（数量关系）所唤起的问题有：1）由角的相等关系能得出什么？进而问：2）图1中

3、有与∠1相等的角吗？3）图1中有与∠2相等的角吗？……一开始，“由条件能推出什么”是一道开放性问题，我们不知道该往哪些地方推进，但随着对结论思考的深化，会慢慢明朗起来．（3）由结论AB∥CD（位置关系）所唤起的问题有：得出直线平行需要什么条件？题目提供了这样的条件没有？如果不是直接提供，那么间接提供有没有？……由此激活了记忆储存中的相关知识，并又激活更多的记忆储存（扩散）：1）同位角（内错角）相等，则两直线平行；进而问2）什么是同位角（内错角）？图1中有同位角（内错角）吗？有相等的同位角（内错角

4、）吗？3）已知条件的相等角能导出“同位角（内错角）相等”吗？……这是表象的一个有序深化过程．2．产生数学直感．上述三方面的思考，促使我们更专注于图形，图中有3条直线，8个角，8条射线，1条线段，其中哪些信息对于我们解题是有用的，哪些是多余的呢？（这相当于一道条件过剩、结论发散的开放题）当然，一开始我们并不清楚，但是目标意识驱使我们去考虑角的关系，因为课本中两条直线平行的判定均与角有关，而已知条件又给出了等角．所以，我们的思考逐渐集中到：从图形中找同位角（或内错角），找相等的角，找相等的同位角（或

5、内错角）．这时，伴随着问题的需要，图1被分解出一系列的部分图形（图2中实线图），并凸现在我们的眼前：图2（1）有与∠1成同位角的角吗？图2-（1）出现，进而问，∠1与∠3会相等吗？（2）有与∠2成同位角的角吗？图2-（2）出现，进而问，∠2与∠4会相等吗？（3）与∠1（或∠2）成内错角关系的角，图1找不到．（4）与∠1相等的角除∠2外，还有它的对顶角∠4（图2-（3））；与∠2相等的角除∠1外，还有它的对顶角∠3（图2-（4））．……于是，对图1的感知，出现了图3的右方图形．图3我们认为，从图1

6、的8个角中找出∠2的对顶角∠3（或∠1的对项角∠4），是解题的重大进展，它能为图形各部分数学关系的沟通起桥梁作用．3．展开数学想象．对具体形象的感知和判别，使我们看到∠3与∠2成对项角（图2-（4））是相等的，而∠3又与∠1成同位角（图2-（1）），这促使我们思考∠1与∠3会不会相等，也促使我们将已有的表象：∠1＝∠2与∠2＝∠3（或∠1＝∠4），产生新的联结（有逻辑思维的推动），得∠1＝∠3（或∠2＝∠4或∠3＝∠4），从而产生新的表象：AB∥CD．于是，在数量关系∠1＝∠2与位置关系AB∥C

7、D之间，在空旷而缺少联系的画面上（见图1），添上了两个数量关系∠2＝∠3，∠1＝∠3：图4再将它们组成和谐的逻辑结构，便得出证明．4．给出逻辑证明．证明1：证明2：证明3：这些证明是抽象思维的过程，表达得干净、简洁而严密．而获得这些结果的过程却是历经“表象——直感——想象”的形象思维过程，在得出AB∥CD之前，四个角∠1、∠2、∠3、∠4之间的关系是一个条件与结论都发散的开放题．为了与简捷的逻辑证明相对照，我们将思考过程（证明1）图示如下：图55．反思解题过程．上述解题的过程，把“题”作为考察的

8、对象，把“解”作为研究的目标．我们推崇“解题分析”，是希望解题研究不要停留在这一阶段上，继续把上述解题活动（包括问题和解）作为研究对象，探究解题规律，学会怎样解题（基本任务），具体研究的方法是分析解题过程．事实上，给出的证明也是一个思维过程，也需要我们去暴露，并且这种暴露比前一阶段的暴露有更高的层次、需要更强的自觉性，是培养思维深刻性与批判性的极好途径．我们一再说过，解题教学缺少这一阶段是进宝山而空还，而把这一阶段停留在检验、回顾、寻找一题多解、作出若干推广的常识层面上，则是一种损失与浪费，让我