例谈揭示数学思维过程的途径

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1、例谈揭示数学思维过程的途径　　二十一世纪呼唤新的人才。因此，新世纪的新公民应该具备什么样的数学素质，教学方法改革如何体现和适应这些数学素质培养的要求，无疑是具有决定性意义的问题，也是摆在每位数学教育工作者面前的重要课题。结合教学实践与经验，转变教育思想、更新教育观念，在教学中真正确立学生的主体地位，注重揭示数学思维过程是促进学生广泛和潜在的能力发展，从根本上培养和提高学生数学素质的基本途径和有效方法。揭示数学思维过程的途径需从以下几个方面入手：　　一、揭示数学概念与定义的产生、概括过程　　数学概念是思维的“细

2、胞”和出发点，其本身“又是凝聚着大量数学知识的数学命题及数学论证等思维形式的浓缩”，所以数学概念往往具有用精确、严谨、高度抽象的形式化语言加以叙述的特点。这就给学生理解概念、抓住其本质、领会它隐含的数学思想带来极大的困难，如果我们在教学中过于追求概念定义语言的严谨与精确，只是从就事论事的孤立、静止的角度对概念作字面解释，就会使学生难以突破定义抽象的束缚，造成学生对数学的认识支离破碎而患上概念不清的毛病，最终难以形成系统化的数学认知结构，也使数学概念的教学陷入一种生硬、僵化的境地。以“无理数”新课引入为例，教学

3、程序可设计为：　　⑴你能将两个1×1的正方形纸片分割，重组成一个正方形吗？　　⑵拼成的正方形面积是多少？8　　⑶那么这个面积为2的正方形的边长是多少呢？　　于是引出我们将研究的课题――无理数，以上过程在学生原有的知识基础上，通过等积拼图，让学生通过实践认识了“形变”引起“量变”的过程，“面积为2的正方形边长是多少？”留下悬念，引发了思考。由此学生进行了转化，类比，猜想等一系列思维活动，同时也给同学们展示了一个无理数确切存在的模型。　　事实上，每一个数学概念都经历了一个产生、演变和发展的过程，而这个过程正是对其

4、包含的数学思想与数学方法抽象概括的思维过程。因此，教师应注重挖掘这些因素，加强思维过程分析，理清概念的来龙去脉，使学生回到自然，在生动活泼的情景中透过对概念的抽象与概括过程，切身地感受这种数学认知活动的本质，体验其中活生生的数学思想并分享知识产生的快乐，变间接经验为直接经验，将概念定义的学习内化为自身的观念和数学思维的能力。仍以“无理数”的概念为例，课本以“a2=b，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢”为题提出过程，层层设计，引导学生进行探究。　　⑴判断以边长1、2的正方形和面积

5、为2、边长为a的正方形的边长之间有怎样的大小关系，说说你的理由。　　⑵判断面积为2的正方形的边长a的大致范围，还可以继续吗？　　⑶判断面积为5的正方形的边长b的大致范围，还可以继续吗？　　⑷把3、4/5、5/9、8/45、2/11表示成小数，并判断它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数？　　⑸出示无理数的定义。8　　⑹有理数与无理数的主要区别？　　这样既创设了问题情景，使课堂充满情趣，又加强了数学素质教育。　　二、揭示规律的发现、形成和发展过程　　在数学公式、定理、法则的教学中，目前存在的最为突

6、出的问题是“重结果轻过程”，其表现是只注重公式、定理应用阶段的教学，而忽视其发现形成阶段的分析。教师往往是用尽量少的时间将公式、定理及其证明作为现成的结果直截了当地“端”给学生，然后就用大量的时间教学生套用公式、模拟解题。结果使学生既缺乏思考、探索的训练，也失去了大量进行观察发现和分析创新的机会。长此以往，学生的头脑中就只剩下了公式与定理的外壳，对所学只知其然，而不知其所以然，既抓不住数学思想方法的本质，又形成不了一种完整的知识体系和认知结构，灵活运用更无从谈起，造成了“既无发现真理的本领，又无发现真理的手段

7、”的高分低能的结局。以“探索勾股定理”教学为例，由于有了求图形面积的经验，这里可以设计如下的教学情境：　　观察方格中的图形，计算以一个直角三角形的三边为边的正方形的面积，并能发现正方形A、B、C的面积之间的关系。　　猜想：直角三角形三边长度存在的关系。8　　联想：通过拼图过程，将形成的问题与数的问题结合起来，即直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，得到a2+b2=c2，勾股定理就这样被探索出来。上述探索过程既让学生在教师的引导下，亲身经历了一个定理的发现和验证过程；又让学生经历了类比、联想、猜想等思维活动，

8、积累了数学学习的方法。因此，我们在公式、定理的教学中，应注重定理的思维过程，挖掘出获得这些结果的动态过程中蕴含的丰富的数学思想（如化归思想、分类思想、函数方程与数形结合的思想）和数学方法（如换元法，归纳法，反证法等等），“教发现，教猜想，教证明，教应用”，既重结果又重过程，在传授知识与发展智能的对立中达到统一。　　三、揭示解题思想的探索过程　　数学家布鲁纳指出：“探索是数学教学的生命线，探索得来的知