三角恒等变形难题高考加竞赛(有答案)

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1、三角恒等变形竞赛三角恒等变形涉及范围广泛，包括三角式的化简、求值、恒等式的证明、三角级数的求和、三角不等式的证明等，其变形的主要途径如下：1．两角和与差的三角函数2．倍角公式3．半角公式4．和化和差公式5．和差化积公式6．万能公式设，则7．三倍角公式8．，其中解题示范例1：求下列各式的值。（1）；（2）···；（3）.思路分析：此例中的求值，都是给角求值。在利用三角变形时，总体思路是化繁为简，产生约分项或相消项或特殊角的三角函数。解：（1）原式（2）因为··，所以原式=1。（3）因为·，而，所以原式=1。点评：三角函数的求值，实质上是从角、名、结构进行变换，抓住角之间的关系，合理进行

2、积与和式变换即可。例2化简思路分析：从本题结构联想，用进行化简。解：因为，所以原式点评：此题的技巧在于公式的灵活运用，而在公式选择中，关键要抵消1，从而简化结构。例3：已知为锐角，且，求的值.思路分析：此题给出一个方程，两个未知数，属不定方程类型。要求解此问题，应从在变形入手，通过配方法解决。解：因为，即，从而，于是，且.由是锐角可知所以，从而引申：此题可从考虑其几何意义求解。由题意得设，则P点是直线与圆的公共点，所以，化简得所以，同理可得同时，构造几何意义解题，常常能得到奇数。例如：设是方程的相异两根，且，求证：证明：设，则是圆与直线的两个相异点。联立消元得所以即①同理得即所以②由

3、①2+②2得故另外，①，②相除得例4：求证：··思路分析：从三角数量关系转化为一个三次方程的根与系数求解。证明：设，则，即令，则.因为是上述方程的根，所以··.故··引申：（1）由韦达定理还可得，·（2）三倍角的变化情况较复杂，还有另一组公式对三倍角的变换很有效。例如化简··例5：求证：思路分析：左边的求和式表示成裂项求和，其结构便化繁为简，而裂项时，考虑的因素。证明：因为，所以·故点评：此题的裂项迁移了数列求和，同时也是以角为突破口。另外第25届美国数学奥林匹克题“证明的平均值为”与此题是“异曲同工”。便6：设，试证：思路分析：从左边三有函数内各角度成等差数列入手。证明：设，，则而

4、，当是偶数时，有，当是奇数时，有，所以M·N故点评：题解中的M、N是一组对偶式，构造对偶式解题，也是三角变换的一个途径，其对偶式的应用，让公式得到应用，对称的性质得以作用。例7：设三边的长度为，其所对角分别为，且满足求证：该三角形是等腰三角形。思路分析：作边角转化，利用三角变换处理已知等式。证明：由已知得，则，所以整理得即化简得所以或，即或解得或所以故是等腰三角形。点评：三角变换既能求值、化简、证明三角恒等式，同时也是工具，可以广泛解决相关的问题。能力测试能力测试1．已知都是锐角，且，那么的关系是（）A．B．C．D．2．设，则的大小关系为（）A．B．C．D．3．等于（）A．B．C．D

5、．4．已知成公比为2的等比数列，且也成等比数列，则的值依次为（）A．B．C．D．5．的值为（）A．B．C．D．6．已知，那么的最大值为（）A．B．C．D．7．在中，已知，则。8．已知，则=。9．设是公差为的等差数列，那么。10．设三内角成等比数列，且公比为3，则。11．计算：。12．已知，则。13．求证：14．设整数满足，求的值。15．在中，求证：，其中分别是的内切圆、外接圆的半径。冲击金牌16．已知，且，，其中求证：对于一切正整数均为整数。17．若锐角满足条件，试证：18．外心为O，内心为I，求证：。