求函数值域和函数奇偶性

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1、求函数值域和函数奇偶性　　一、知识点分析　　求函数值域问题放在单调性之后引出，是希望学生通过对于单调性的深入研究和理解，明白求函数值域问题跟函数的单调性紧密结合的关系，从而对于这两个问题都有更为透彻的理解。而函数奇偶性是继函数的单调性之后的又一函数重要性质，我们研究奇偶性的时候也要重点把握。所谓函数性质实际上是在强调：当自变量发生一个变化时相应的因变量发生了变化，我们描述这些变化就成为函数的性质，这里强调这一点很重要，为今后讨论反函数、周期性等作铺垫。也帮助学生更好地理解数学。　　二、基本知识体系　　1.求函数值域的方法总结　　求函数值域是一类很重要的问题，求函数值域的方法有以下几种：　

2、　1、利用单调函数的上、下界　　2、利用熟知函数的值域　　3、利用换元法，化为熟知函数　　4、利用配方法或判别式法　　5、利用不等式　　在应用以上求值域的方法时要注意：弄清每种方法的原理、适用对象、操作方法、以及应注意的问题；每种方法应掌握几个典型例题，并且把例题深入挖掘，掌握其精髓。　　2.函数的奇偶性　　1、定义及其理解：　　定义1对于函数y=f(x)，x∈D，若任取x∈D，都有f(-x)=f(x)，称f(x)为偶函数。　　定义2对于函数y=f(x)，x∈D，若任取x∈D，都有f(-x)=-f(x)，称f(x)为奇函数。　　强调：　　(1)整个定义域上的性质(区别于单调性)；　　(2

3、)刻画了f(x)随x变化的特征(数、形)。　　2、函数的奇偶性的判断：　　(1)定义域是否关于原点对称；按照定义以及定义的等价形式判断：　　考察f(-x)=±f(x)；或f(-x)±f(x)=0，或　　说明：定义域D关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。因此，在运用定义判断y=f(x)的奇偶性时，一定要首先看定义域。　　(2)函数的图象(数形结合的思想)。　　定理1奇函数的充要条件是函数图像关于原点对称　　定理2偶函数的充要条件是函数图像关于y轴对称　　难点：证明函数奇偶性的定理。　　3、函数奇偶性的应用主要包括以下几个方面：　　(1)判断；　　(2)证明；　　(3)求值；　　(4)求

4、解析式；　　(5)作函数图象；　　(6)求函数值域。　　三、典型例题及分析　　例1.求函数的值域　　解：第一步先求该函数的定义域为　　都是单调递增函数，并且没有上界　　是单调递增函数，并且没有上界　　；　　　　小结：利用单调函数的上下界求值域，原理简明，操作简便，且普适性强，是求值域的首选方法。　　例2.求函数的值域　　解：　　向右平移3个单位得到的；　　值域相同；　　　　小结：这道小题明显利用熟知函数的值域求未知函数值域。需要补充说明的是我们已经学过一些函数图像的几何变换，这个例子给我们启示是：对于结构复杂的函数，若能把它看做是有某种基本函数经过某些几何变换所得，则根据基本函数的值域和

5、几何变换的性质就能直观的求出该函数的值域。　　例3.求　　解：设，则原函数可化为　　而函数　　由图像分析得到函数值域为　　小结：这是典型利用换元法，化为熟知函数，这类问题的难点是能够认清函数本质上的函数形式，从而能顺利地转化，也就是说问题转化成为在指定区间上求基本函数的值域。易错点是在转化过程中，附加了新变量t的范围，这个范围往往容易丢掉，要引起注意。另外要强调的是在化基本函数过程中，注意数形结合。　　例4.求函数的值域。　　解：设　　原函数可化为　　　　∴原函数的值域为　　小结：这道题方法和思路基本同上，而基本函数模型是二次函数。　　例5.求函数的值域。　　分析：对于分子、分母都为x的

6、二次式的分式函数，分别配方后也易处理，因此需要探讨新的方法。　　解：首先考察定义域，由分母，则函数定义域D=R。　　由可得：(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)=0　　当y=1时，上式变成2x=0，x=0∈D∴y=1是值域中的一个元素。　　当y≠1时，上式可以看作是关于x的二次方程，因其根x为实数，　　∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-1)≥0，解之得　　综上，y的取值范围(也就是函数的值域)为　　小结：这道题应用判别式法(俗称△法)主要用来解分式函数求值域的问题，但在使用判别式法时要注意：由y=f(x)变为a(y)x2+b(y)x+c(y)=0后，对于x2的系数a(y)应按a(

7、y)=0与a(y)≠0分情况讨论。　　例6.已知定义在(-∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2-2x+2，求函数f(x)的解析式。　　分析：由图像的对称性可知，f(x)是奇函数，因而可根据奇函数的定义求解。但既然说是定义在全体实数上的函数，因而x=0时，f(x)有定义。不能忘了求f(0)。　　解：当x<0时，-x>0，故　　f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2　　因函数f(x)