概率论与数理统计思想的应用

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1、概率论与数理统计思想的应用崔永伟1,杜聪慧2(1.北方工业大学经济管理学院,北京100041;2.西南交通大学经济管理学院,四川成都610031)摘要:对偶然性的认识,是一个现代人知识结构中应具备的成分.本文就概率论与数理统计的方法与思想,在解决代数、数学分析学科中的一些问题及在现代金融理论和日常生活中的应用展开一些讨论,从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性.关键词:概率方法;数理统计的思想;数学证明;机会的数学中图分类号:O21　　　　　　　　文献标识码:A　　　　　　　　文章编号:100822

2、093(2004)0220061203　　英国学者威尔斯说过“统计的思维方法:,就像读和写的能力一样,将来有一天会成为效率公民的必备能力”.概率论的发展历史悠久,理论高深而清晰,应用广泛.集合论、函数论等学科的发展为概率论奠定了基础,同时,概率论的发展也为数理统计及其他数学学科的发展和解决有关问题提供了行之有效的方法.本文将就概率论与数理统计的方法与思想,在解决代数、数学分析学科中的一些问题及在金融领域和日常生活中的应用展开一些讨论,从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性.1　理论证明和求解方面的应

3、用1.1　在证明组合恒等式方面的应用证明组合恒等式的方法多种多样,其中不乏代数方法、三角方法、几何方法等等,但是对某些问题,如果建立恰当的概率模型,就可以用概率方法巧妙地将其解决,从中可以看出概率方法的威力.例1.证明6kt=0CtmCk-tn-m=Ckn本题是一个排列组合等式的证明,与古典概率有着密切地联系,观察等式的特点,可建立如下模型加以解决.证明:设一盒中装有n个球,其中有m个黑球,n-m个白球,现从中随机抽取k个球,令“At”表示“取出的k个球中黑球的个数”,则有:P(At=t)=CtmCk-tn-mCkn　　其中t=0,

4、1,2,…,k又事件“At=t”与事件“As=s”是互不相容事件(s≠t),从而有P(∪kt=0At=t)=6kt=0P(At=t)=1所以　　6kt=0CtmCk-tn-mCkn=1即　　6kt=0CtmCk-tn-m=Ckn例2.6n-mr=0Crn-1+r=Cn2n-m一些组合恒等式的证明有时可借助于一题多解的结果得到.建立如下概率模型:一个人在口袋里放了甲、乙两盒火柴,每盒n只,每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒(即每次每盒有同等机会被拿出来)并用掉一只.到某次他迟早会发现,取出的那盒已经空了,问事件E=“这时另一盒中恰好有m只

5、火柴”的概率是多少?解法1:考察前2n+1-m次抽用的情况,每次抽用时有2种方法(抽出甲或乙盒)故总的不同的抽法有:22n+1-m种.有利于上述事件E的抽法,先看最后一次(即第2n+1-m次)是抽出甲盒的情况,为使此事件发生,则前2n-m次中,必然有n次抽用甲盒,实现这一点的不同的抽法为:Cn2n-m;同理最后一次抽出是乙盒的情况相同,故有利于事件E的抽法为2Cn2n-m,所求概率为:2Cn2n-m22n+1-m=Cn2n-m22n-m.解法2:因每盒只有n只,最晚到第2n+1次抽取时,或在此之前,必发现抽出的盒已空,故不管如何,总

6、把试验抽至第2n+1次止,不同抽法为22n+1种.同上考虑有利于E的抽法:先考虑“发现甲盒为空”的抽法,要完成2n+1次抽取,对某个r(r=0,1,2,…,n-m)以下同时出现:(1)第n+r次抽取甲盒,而这时甲盒已经是第n次被抽;(2)前n+r-1次抽时,乙盒被抽r次,有Crn+r-1种抽法;(3)接下来紧接着的n-m-r次全是抽出乙盒;(4)第2n-m+1抽取时抽出甲盒(此时发现甲盒为空,乙盒有m只);(5)最后m次抽可任意抽(共2m种抽法);即对固定的r,共有Crn-1+r2m种抽法,则“有利于事件E发生,且发现甲盒空的抽法有

7、A=6n-mr=0Crn-1+r2m,同理,乙盒情况与甲盒相同,则所求事件E的概率为:2A22n+1=6n-mr=0Crn-1+r22n-m两种方法的结果应该是相同的,从而有6n-mr=0Crn-1+r=16第12卷第2期2004年03月河南机电高等专科学校学报JournalofHenanMechanicalandElectricalEngineeringCollege　　Vol.12№.2Mar.2004收稿日期:2003210217　作者简介:崔永伟(19742),男,河南陕县人,硕士,研究方向:金融理论分析,保险精算、养老保险

8、.Cn2n-m.当然要得到这道题的结果,不仅要有思路,还要计算准确.上面的结果可以通过数学归纳法来验证.1.2　在证明不等式方面的应用不论在初等数学还是在高等数学中,不等式的证明始终是难点,其证明方法往往技巧性很强,若能根据欲证不等式