待定系数法探讨.doc

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1、第9讲：数学解题方法之待定系数法探讨应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“设，的反函数，那么的值依次为　　▲　　”，解答此题，并不困难，只需先将化为反函数形式，与中对应项的系数加以比较后，就可得到关于的方程组，从而求得值。这里的就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“与直线L：平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是　　▲　　”，解答此题，只需设定直线L

2、’的方程为，将A(1,-4)代入即可得到k的值，从而求得直线L’的方程。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面四方面探讨待定系数法的应用：（1）待

3、定系数法在函数问题中的应用；（2）待定系数法在圆锥曲线问题中的应用；（3）待定系数法在三角函数问题中的应用；（4）待定系数法在数列问题中的应用。一、待定系数法在函数问题中的应用：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年浙江省理4分）若将函数表示为，其中，，，…，为实数，则▲．【答案】10。【考点】二项式定理，导数的应用。29【解析】　用二项式定理，由等式两边对应项系数相等得。或对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用特殊元素法，令得：，即。例2.（2012年山东省文4分）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数

4、在上是增函数，则a＝▲.【答案】。【考点】函数的增减性。【解析】∵，∴。当时，∵，函数是增函数，∴在［－1，2］上的最大值为，最小值为。此时，它在上是减函数，与题设不符。当时，∵，函数是减函数，∴在［－1，2］上的最大值为，最小值为。此时，它在上是增函数，符合题意。综上所述，满足条件的。　例3.（2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为▲．【答案】。【考点】周期函数的性质。29【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。又∵，，∴②。联立①②，解得，。∴。例4.（2012年全国大纲卷文12分）已知函数．

5、（1）讨论的单调性；（2）设有两个极值点，，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．【答案】解：（1）∵，∴①当时，，且仅当时。∴是增函数。②当时，有两个根。列表如下：的增减性＞0增函数＜减函数＞0增函数（2）由题设知，，是的两个根，∴，且。∴。同理，。∴直线的解析式为。29设直线与轴的交点为，则，解得。代入得，∵在轴上，∴，解得，或或。【考点】函数的单调性和极值，导数的应用。【解析】（1）求出导函数，分区间讨论即可。（2）由，是的两个根和（1）的结论，得，求出关于的表达式和关于的表达式，从而得到直线的解析式。求出交点的横坐标代入，由其等于0

6、，求出的值。例5.（2012年全国课标卷文5分）设函数(Ⅰ)求的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，，求k的最大值【答案】解：(Ｉ)f(x)的的定义域为，。若，则，∴在上单调递增。若，则当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增。(Ⅱ)∵a=1，∴。∴当x>0时，，它等价于。令，则。29由(Ｉ)知，函数在上单调递增。∵，，∴在上存在唯一的零点。∴在上存在唯一的零点，设此零点为，则。当时，；当时，。∴在上的最小值为。又∵，即，∴。因此，即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质，导数的应用。【解析】(Ｉ)分和讨论的单调区间即可。(Ⅱ

7、)由于当x>0时，等价于，令，求出导数，根据函数的零点情况求出整数k的最大值。二、待定系数法在圆锥曲线问题中的应用：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年全国课标卷理5分）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为【】【答案】。【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义。【解析】∵是椭圆的左、右焦点，∴。∵是底角为的等腰三角形，29∴。∵为直线上一点，∴。∴。又∵，即。∴。故选。例2.（2012年全国课标卷理5分）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴

8、长为【】【答案】。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】的准线。∵与抛物线的准线交于两点，，∴，。设，则，得，。故选。例3.（2012年