教学论文---关于黎曼可积分理论的教学探讨

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1、关于黎曼可积分理论的教学探讨薛玉梅基金项目：北京市精品课程建设研究项目、学校重点教改项目《工科数学分析》开放式教学研究与实践资助。作者简介：薛玉梅，1968年7月出生，博士，副教授，北京航空航天大学数学学院；研究方向为：动力系统与分形及相关领域。北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京，100191摘要：函数积分的理论主要是如何判断一个函数满足什么样的条件是可积的，一般的数学分析书主要讲授是达布上和与下和定理，但是这个定理并没有直观解释函数满足什么条件是Riemann可积。为了学生能透彻理解Riemann积分

2、，我们首先介绍零测集等概念，在此基础上介绍Lebesgue定理，利用它刻画可积函数。关键词：连续函数，达布上（下）和，Riemann可积，零测集，Lebesgue测度中图分类号：O172文献识别码：A1引言函数积分的理论主要是如何判断一个函数满足什么样的条件是可积分的,一般的数学分析书主要教授是大布上和和小和定理,但是这个定理并没有直观解释函数满足什么条件是可积分的。我们启发学生,连续函数可积,若有限个间断点可积分,这些都可以证明.我们留给学生一个思考题目,到底有”多少”个间断点可积?学生一开始普遍认为只有有限个能保证可积分。我们启发学生想如

3、果间断点是在一个收敛数列，结论是否成立？学生证明了这个结论。在这个基础上我们初步介绍至多可数集合和零测集合等概念，由此介绍Lebesgue定理和相应新的数学分枝。很多学生对上述概念产生了浓厚的兴趣，他们了解数学学科的博大精深。通过这样的训练引导学生对科学问题的探索精神，钻研精神。2问题的提出已经知道区间上的有界函数不一定可积分，那么什么样的有界函数是可积的呢？也就是说：在区间上什么样的有界函数的积分和存在极限呢？这个变量不仅与分割有关，且与点取法有关。这给讨论这个变量的极限带来很大困难，为此我们考虑这个积分和的极端情形。对于分割记我们称为关于

4、的达布上和与下和。根据它们的性质，对于上的任意分割，总有于是，讨论上述积分和极限的问题就归结为讨论6达布上和与下和的极限问题。这样就有以下可积的判断准则：定理11)函数在上可积；2)3)由上述定理，我们可以证明以下几类函数是可积的：1)若函数在上连续，则在上可积。2)若函数在上有界，且有有限个间断店，则函数在上可积。3)若函数在上单调，则函数在上可积分。例1Riemann函数在上可积。例2Dirichlet函数在上不可积。上述定理说明：要证明是可积的，我们只要找到某个分割，使得对于要么在此分割中的小区间上的振幅很小，要么振幅较大的那些小区间的

5、总长度很小。总之还是依赖分割的，这样并没有直观解释函数满足什么条件是可积的。于是我们提出这样的问题：难道只有有限个间断点才能保证可积吗？单调函数有没有间断点？若有，是否有可能有无限多个间断点呢？例3函数6该函数在上单调增加，且有无限多个间断点，由定理1（3）可知，函数在上可积。上例的无限多个间断点组成的数列恰好是收敛数列，并且由以前知识可知，它的间断点组成的集合是至多可数集。由此启发我们可以进一步证明：例4若有界函数在上的不连续点组成的是收敛数列，则函数在上可积。由例1、例2可知，上的Dirichlet函数是不可积的，它处处不连续。但上的Ri

6、emann函数除有理数点外处处连续，而有理数点集是不可数的。由此我们有这样一个问题：在上可能除去至多可数个点外处处连续的有界函数是否在上Riemann可积？或者可积性与函数的不连续点的“多少”和点的性质是否有关系？3Lebesgue定理为了回答这个问题，我们首先介绍零测集的概念，最后给出Lebesgue定理，用它刻画Riemann可积函数的内在本质。这里我们先直观地解释测度。测度是线段长度概念的延伸（更一般地是欧氏空间中面积或体积概念的延伸）-Lebesgue测度（关于的概念和性质详见测度论或实变函数论）。定义1设为实数集，若对于任意都存在至

7、多可数的一系列开区间它是的一个开覆盖，并且那么称为零测集。显然，空集是零测集，单点集是零测集。可以证明有限集是零测集。进一步可以证明：至多可数集是零测集。事实上，不妨设无限集任意记显然，且因此为零测集。零测集还有如下性质：1)任何长度不为0的区间都不是零测集。2)至多可数个零测集的并集是零测集。3)设为零测集，若那么也是零测集。为此，数轴上的全部有理数点的集合是一个零测集，全部无理数点的集合不是零测集。我们定义在上的有界函数在处的振幅为6则可证在处连续当且仅当设记则有引理（Lebesgue数）设为闭区间的一个开覆盖，则存在使得任何长度小于等于

8、的闭区间必包含在某个开区间中。证明用反证法。若不然，则存在一列闭区间使得但均不是某个的子集。设由于数列是有界点列，从而必有收敛子列。不妨设本身收敛，且显然也收敛到因