基于apos理论的定积分概念教学探讨

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1、基于APOS理论的定积分概念教学探讨杨祥永（潍坊市经济学校山东潍坊262200）摘要：基于APOS理论，文章探讨了定积分概念教学的四个阶段，即操作阶段、过程阶段、对象阶段、概型阶段,可以帮助学生形成较稳定的数学概念心理图式。关键词：APOS理论定积分概念教学定积分是高等数学最重要的概念之一，它来源于实际问题，乂是其它各种积分的基础。定积分概念木身体现了微积分的基木思想方法一一极限思想方法，因此，讲好定积分的概念，使学生深刻理解概念的内涵、掌握其中的思想方法是一个值得研究的课题。木文结合APOS理论，谈了谈在定积分概

2、念的教学中所采取一些做法和体会。一、APOS理论概述杜宾斯基等人在20世纪80年代针对数学学习的特点，在建构主义背景下提出了APOS理论。APOS分别是由英文“操作（Action）”、“过程（Process）”、“对象（Object）”、“概型（Scheme）”的第一个字母组合而成，该理论认为数学概念的学习需要经历这四个阶段。“活动阶段”，学生理解了概念的直观背景和概念间的关系；“过程阶段”，学生对“活动操作阶段”进行思考，经历内化压缩的过程；学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质，对其赋予形式化

3、的定义和符号，这时成为“对象”，认识进入“对象阶段”；随着学习深入，以此为对象进行新的活动，进入到“概型阶段”，包括反映概念的特例、抽象过程、定义和符号，最终形成综合的心理图式。二、基于APOS理论的定积分概念教学过程的设计1.操作阶段，引入定积分的概念。概念的引入阶段应充分考虑学生的认知规律，体现直观性、可接受性原则。我在教学过程中设计了如下问题。问题1:怎么样知道一片树叶一面的面积？学生的答复一般是网格法，即将树叶盖住有方格的纸片，然后用铅笔画出其边界，数数边界内方格的个数，边界部分对应的方格四舍五入，就可知道

4、树叶的大概面积。网格越密测得的面积越精确，进而带领学生透彻讨论：①网格无限密会如何？②“有限”与“无限”有何区别？③能否用“线型法”(即用n条等距的平行直线分割树叶)测得树叶的面积？经过这类难题的讨论，为定积分概念的实例一一曲边梯形的面积难题的处理打下了十分好的基础。问题2:如何求曲边梯形的面积？引导学生得到曲边梯形面积可分以下四步完成：分割、近似、求和、取极限。问题3:如何求变速直线运动的路程？以启发为主，与学生一起进行简单的研究，带领学生得出类似的结论。在讲解与研宄整个过程中，强调“曲”与“直”、“变”与“不变

5、”的转化，使学生在学习整个过程中充实体会极限的思想与方法。讲完两实例后，可以要求学生思考：在生活与实际工作中，你还能找出哪些难题与上述难题类似？通过“活动”阶段，可以激发学生的学兴趣和强烈的求知欲及创造力,更能激发出学生努力超越旧理论的局限，去构建新理论的信心和内在驱动力。1.过程(Process)阶段，概括表述定积分的概念。在教学中应充分发挥学生主体能动性，给学生营造一个“创造、发现”的心境，再造心智活动过程，贯彻发现法的教育原则。从认知角度分析，学生经过对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中对“

6、活动”进行描述和反思，将抽象出特定概念所特有的性质，即概括出定积分概念的定义。通过层层设问，应达成以下共识：(1)问题的性质是一样的，都是在一定范围内求整体量的问题。(2)遇到的矛盾是类似的，都是涉及变化的量，用初等方法无法解决。(3)解决的方法是相同的，都是采用极限的思想方法，先局部代替得近似值，再用极限将近似转化为精确。(4)处理的步骤是统一的，都是“分割、近似、求和、取极限”四步。(1)所得结论的形式是一样的，都是一个特定结构的“和式极限”。总结这几例的同吋，要着重指出实际中还奋很多类似的问题，它们都可以归结

7、到此类相同的数学形式，因此要对这种形式进行研宄。1.对象(Object)阶段，分析解剖定积分的概念。对象阶段是通过前面的活动和抽象，认识了概念的本质，对其赋予形式化的定义和符号，使其达到精致化，成为•一个具体的对象，并在以后的学中以此对象去进行新的活动，此对象就转变为即将被操作的“实体”。在这一阶段，关键是让学生理解这一等式：limf(ξi)Axi=f(x)dx,并注意其中符号的意义与对疲关系：Axiclx，f(ξi)f(x),fAxif(x)dx表示小矩形面积，lim表示无限累积，从而在整体上把定积分

8、理解成-种和式极限。2.概型阶段，建立综合的心理图式。这一阶段是定积分概念理解的深层阶段。这个阶段不是通过课上当吋就可以完成的，它需要头脑中有个建构的过程,随着对定积分概念认识的深入、接触问题的增多、各种积分表达式的学习深化,认识、建构过程也逐步完善。参考文献[1】徐立英张丽娜APOS理论对函数概念教学的启示和应用.高等教育研究，2007(9)。[2】田慧琴