线性代数模拟试题一

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1、线性代数综模拟试题（一）一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中1．已知是关于的一次多项式，该式中的系数为____________．2．已知矩阵，且的秩，则___________．3．已知线性方程组有解，则___________．4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则必有一个特征值是_________________．5．若二次型是正定二次型，则的取值范围是______________．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中

2、，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设，，，，则必有【】．.；.；.；.．2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【】．.必有一列元素全为0；.必有两列元素成比例；.必有一列向量是其余列向量的线性组合；.任意列向量是其余列向量的线性组合．3．设是矩阵，而且的行向量线性无关，则【】．.的列向量线性无关；.线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关；.线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；.线性方程组有唯一解．4．设矩阵是三阶方阵，是的二重特征值，则下面各向量组中：⑴，，；⑵，，；⑶，，；

3、⑷，，；肯定不属于的特征向量共有【】．.1组；.2组；.3组；.4组．5．设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【】．.；.；.；.．三．（本题满分10分）设阶矩阵和满足条件：．⑴证明：是可逆矩阵，其中是阶单位．⑵已知矩阵，求矩阵．四．（本题满分10分）当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．五．（本题满分10分）设4阶矩阵，求．六．（本题满分10分）已知，，求，，使得，，，线性无关．七．（本题满分10分）设是阶矩阵，如果存在正整

4、数，使得（为阶零矩阵），则称是阶幂零矩阵．⑴.如果是阶幂零矩阵，则矩阵的特征值全为．⑵.如果是阶幂零矩阵，则矩阵不与对角矩阵相似．八．（本题满分10分）若二次型经正交变换后可变为标准形，求，．并求出该正交变换．九．（本题满分10分）设有5个向量，，，．求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．线性代数模拟试题（一）答案一．填空题1．应填：．2．应填：．3．应填：4．应填：．5．应填：．二、选择题1．应选：．2．应选：．3．应选：．4．应选：．5．应选：．三．（本题满分10分）设阶矩阵和满足条件：．

5、⑴证明：是可逆矩阵，其中是阶单位．⑵已知矩阵，求矩阵．解：⑴由等式，得，即因此矩阵可逆，而且．⑵由⑴知，，即四．（本题满分10分）当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：所以，⑴当时，，此时线性方程组有唯一解．⑵当，时，，，此时线性方程组无解．⑶当，时，，此时线性方程组有无穷多组解．此时，原线性方程组化为因此，原线性方程组的通解为或者写为五．（本题满分10分）设4阶矩阵，求．解：由于，所以，由于，所以六．（本题满分10分）

6、已知，，求，，使得，，，线性无关．解：由于与的对应分量不成比例，所以与线性无关．满足，，，线性无关的向量与有很多，例如我们可以取，由于，所以，，，线性无关．七．（本题满分10分）设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵），则称是阶幂零矩阵．⑴.如果是阶幂零矩阵，则矩阵的特征值全为．⑵.如果是阶幂零矩阵，则矩阵不与对角矩阵相似．解：⑴.设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有．所以，，但是，所以，但，所以．⑵反证法：若矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得．所以，但是，，所以，所以，即．因此．这与相矛

7、盾，因此矩阵不与对角矩阵相似．八．（本题满分10分）若二次型经正交变换后可变为标准形，求，．并求出该正交变换．解：的矩阵及标准形的矩阵分别为，．则有，即由此得．而且矩阵的三个特征值分别为．特征值对应的特征向量为特征值对应的特征向量为特征值对应的特征向量为因此令：因此所作的正交变换为九．（本题满分10分）设有5个向量，，，．求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．解：对由构成的矩阵，进行行变换由此可以看出，向量组，或者，或者，或者都可以作为向量组的极大线性无关组．不妨取向量组作为极大线性无关组，则

8、有，，．