概率论期末考试题

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1、1．自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子，每盒装12只，已知每盒内装有的白球的个数是等可能的。为检查某一盒子内装有白球的数量，从盒中任取一球发现是白球，求此盒中装的全是白球的概率。解：令A={抽出一球为白球}，={盒子中有t个白球}，.由已知条件，，,，[,,]由全概率公式，,[]由Bayes公式，.[]2．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为求：边缘密度函数.解：[（4分）][3.已知随机变量与相互独立，且,，，试求：.．解：6A卷共6页第页[][]4.学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，

2、0.2，0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。．解：设为第i盒的价格，则总价..[]5.设总体X的概率密度为为未知参数.已知是取自总体X的一个样本。求：(1)未知参数q的矩估计量；(2)未知参数q的极大似然估计量；(3)的极大似然估计量.（1）矩估计量[]（3分）（2）极大似然估计量[]（3分）（3）的极大似然估计量6A卷共6页第页[]（3分）6.为改建交大徐汇本部中央绿地，建工学院有5位学生彼此独立地测量了中央绿地的面积，得如下数据（单位：）1.231.221.201.261.23设测量误差服从正态分布.试检验（）（1）以

3、前认为这块绿地的面积是1.23，是否有必要修改以前的结果？（2）若要求这次测量的标准差不超过，能否认为这次测量的标准差显著偏大？解：（1）假设.[]（1分）当为真，检验统计量（3分），拒绝域（3分），[]，接受.[，拒绝]（2分）（2）假设.（1分）当为真，检验统计量（3分），拒绝域.（3分），拒绝.四.证明题（6分）设是相互独立且都服从区间上的均匀分布的随机变量序列，令，证明.证：6A卷共6页第页的密度为（3分）即，所以.所以.（3分）三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1)4个球全在一个盒子里;(2)恰有一个盒子有2个球.把4个球随机放入5个

4、盒子中共有54=625种等可能结果解：（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125(2)5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有种方法4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故四．(本题10分)设随机变量ξ的分布密度为(1)求常数A;(2)求P(ξ<1)；(3)求ξ的数学期望.．解：（1）（2）（3）五．(本题10分)设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是6A卷共6页第页η＝1η=2η＝4η＝5ξ＝00.050.120.150.07ξ＝10

5、.030.100.080.11ξ＝20.070.010.110.10(1)ξ与η是否相互独立?(2)求的分布及；(2)解：（1）ξ的边缘分布为(3)--------------------------------2分(4)η的边缘分布为(5)---------------------------4分(6)因,故ξ与η不相互独立-------5分(7)（2）的分布列为01245810P0.390.030.170.090.110.110.10(8)因此，(9)六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽

6、的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？解：由全概率公式及Bayes公式P(该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分P(该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3---------------------10分七．(本题12分)某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元.若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止.若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元.若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收

7、益的期望.解．令Ak={在第k次射击时击中目标}，A0={4次都未击中目标}。于是P(A1)=0.3;P(A2)=0.7×0.3=0.21;P(A3)=0.72×0.3=0.147P(A4)=0.73×0.3=0.1029;P(A0)=0.74=0.2401-----------------------------------6分在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。--------------------------------------------------