数理方程练习题(1)

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1、一、填空题1．二阶线性偏微分方程（其中各系数均为x和y的函数）在某一区域的性质由式子：的取值情况决定，取值为正对应的是（双曲）型，取值为负对应的是（椭圆）型，取值为零对应的是（抛物）型。2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（弦自由横振动），表达式为（），属于（双曲）型；第二个叫（热传导），表达式为（），属于（椭圆）型；第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（，），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［B］(A)；(B)；(C)；(D)；2.下列泛定方程中，肯定属于椭圆

2、型的是［D］(A)；(B)；(C)；(D)；3.定解问题的形式解可写成［D］(A)(B)(C)(D)4.若非齐次边界条件为，则辅助函数可取［C］(A)；(B)；(C)；(D)；三、求解下列问题（1），其中a为常数。解：设试探解为f(Ax+Bt)，代入泛定方程。得B2f”=A2a2f”B2=A2a2不妨取A=1，则B=+a或-a故试探解的形式为f(x+at)或f(x-at)问题的通解为u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)，其中f和g为任意函数。（2），其中a和ω为常数。解：由上题知u(x,t)=f(x+at)+g

3、(x-at)代入初始条件，得u(x,0)=f(x)+g(x)=cos(wx/a)ut(x,0)=af(x)-ag(x)=0联合求解得f(x)=g(x)=0.5cos(wx/a)故u(x,t)=0.5cos[w(x+at)/a]+0.5cos[w(x-at)/a]=cos(wx/a)cos(wt)本题也可以用行波法公式直接求解。（3），其中，a和ω均为常数。解：由边界条件得形式解为：将初始条件代入上式，得：由上述结果得0axyb四对给定的二维金属矩形谐振腔，横电模式的电场强度满足定解问题：其中w和c为电磁波频率和光速。用

4、分离变量法求通解；w能连续取值吗？解：令E=X(x)Y(y)，代入定解问题，有：由，知l只在满足时有非零解：，其中m=1，2，3…同理，由仅当Y的本征值满足：，其中n=1，2，3…时，Y有非零解故故问题的通解为：，m和n为整数因，知w不能连续变化，一、填空题二阶线性偏微分方程分成三类，决定于的取值：>0对应的是（双曲）型，=0对应的是（抛物）型，<0对应的是（椭圆）型。对于常见的三类泛定方程，热传导方程或扩散方程的表达式是（），属于（椭圆）型；弦振动方程的表达式是（），属于（双曲）型；泊松方程的表达式是（），属于（抛物

5、）型。二、单选题1．下列泛定方程中属于线性方程的是［C］(A)，其中表示u的复共轭；(B)；(C)；(D)；2.下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［B］(A)；(B)；(C)；(D)；3.定解问题的形式解是［B］(A)(B)(C)(D)三、用适当方法求解下列问题。（1）解：设试探解为f(Ax+Bt)，代入泛定方程。得B2f”=A2a2f”B2=A2a2不妨取A=1，则B=+a或-a故试探解的形式为f(x+at)或f(x-at)问题的通解为u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)，其中f和g为任意函数。（2）解：由上

6、题知u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)代入初始条件，得u(x,0)=f(x)+g(x)=0ut(x,0)=af’(x)-ag’(x)=cosx联合求解得f(x)=-0.5(sinx+c);g(x)=0.5(sinx-c)故u(x,t)=-0.5sin(x+at)+0.5sin(x-at)=-cosxsin(at)本题也可以用行波法公式直接求解。（3）解：由边界条件得形式解为：将初始条件代入上式，得：（4）解：由边界条件，得形式解，代入泛定方程，得求上述常微分方程，可得最后解。（5）解：可分解为两个问题：和第一

7、个问题的解为：，其中：而第二个问题的解，其中Tn满足：四（11分）选择合适的辅助函数，使定解问题的边界条件齐次化，并写出齐次化后的定解问题。解：