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《数理方程引论chapter-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1章引言与概述§1.1基本概念§1.2常见偏微§1.3典型方程推导§1.4解法初探§1.5预备知识§1.1基本概念微分方程：联系未知函数和它的（偏）导数的方程常微方程：未知函数为单变量函数偏微方程：未知函数为多变量函数线性方程：具有形式L[u]=fu和其导数的线性组合自由项（只依赖独立变量）方程阶数：出现的未知函数（偏）导数的最高阶数齐次方程：Lu[]0≡3例：uxy+u=5ux非线性2阶齐次叠加原理：L[u]=f,L[u]=f1122⇒L[cu+cu]=cf+cf11221122注：（1）若，f1≡f2≡0则c1u1+c2
2、u2（∀c1,c2）是的L[u]=0解（2）叠加原理在非线性情形一般不对！问题：无穷叠加原理是否成立？为什么？（作业）例：ut+ux=0（未u=u(x,t)知）易验证（练习）：若g为任意单变量可微函数，则u(xt),=g(x−t)是方程的解2x−t一些显式解：(x−t),5sin(x−t),e,?通解：该（某）偏微方程所有解的集合例：可以证明上例中u(tx),=g(x−t)是方程通解2(x−t)2xu(xt),=e若设u(x)0,=e则确定解为定解问题：偏微方程+定解条件（初）边值条件解稳定性：定解条件微小变动蕴含解微小变动例
3、：uu+=0,0<<>xyπ,0⎧xxyyuuu
4、
5、
6、0===⎨xxy===00π⎩1un
7、s=inxyy=0n1ny−nysinhny=(e−e)可以验证（练习）其有解21u(x,y)=sinnxsinhnyn2n1易见：当时n→∞，（初始）条件sinnx→,0n1解sinnxsinhny(y>0)不趋于02n此即表明该方程解不稳定（Hadamard，1917）注：稳定性在数值（应用）处理时至关重要适定性：解存在性+解唯一性+解稳定性§1.2常见偏微线性偏微1阶：ut+aux+buy=0（Transportequation）
8、22阶：u−au=0（Waveequation）ttxx2u−au=0（Heatequation）txx2∇u:=u+u=0（Laplaceequation）xxyy2u−au+bu+cu=0（Telegraphequation）ttxxt2h2ihu=−∇+uVu（Schrödingerequation）t2m高阶：utt+uxxxx=0（Beamequation）非线性偏微u+uu+u=0（KdVequation）txxxx2det(Du)=f（Monge-Ampèreequation）方程组⎧EB=curlt⎪⎨BEt=
9、−curl（Maxwell’sequations）⎪⎩divBE==div0ddd2d⎧uuu+⋅∇−∇εu=−∇pt⎨d（Navier-Stokesequations）⎩divu=0§1.3典型方程推导例：弦振动方程自由振动模型假设：（1）弦细、均匀且无弯曲阻力，平衡时沿直线拉紧（2）除张力、重力外不受其它外力；重力与张力相比较可以忽略（3）只沿垂直平衡位置方向作微小平面运动2方程：u−au=0ttxx齐次（1+1维）波动方程受迫振动模型假设：（1）、（3）同上（2）除张力外还受到与弦的振动方向平行的作用力（外力）2方程：u
10、tt−auxx=f(xt),非齐次（1+1维）波动方程注：（1）（高频）传输线方程是1+1维波动方程（2）高维波动方程为22u−a∇u=ftt例：热传导方程22u−a∇u=f（有内部热源）t22u−a∇u=0（无内部热源）t稳恒温度场2∇u=f（Poissonequation）2∇u=0（Laplaceequation）注：（1）流体反应扩散方程是热传导方程（2）三大典型2阶偏微方程为：波动、热传导和Laplace方程对应：2阶双曲、抛物和椭圆方程§1.4解法初探例：求方程ux(x,y)=2xy的通解.解：方程两边关于x直接积
11、分可得2u(x,y)=xy+f(y).这里f是关于y的任意函数.注：（1）对某一变量进行积分时，需加上一个关于其余变量的任意函数（2）此法称为“直接积分法”思考：什么样的偏微方程可用此法求解？一般偏微方程不能直接积分求解！自然想法：？？偏微方程→常微方程→求解§1.5预备知识常微简单回顾1阶常微•可分离：f(y)y′(x)=g(x)⇒f(y)dy=g(x)dx⇒∫f(y)dy=∫g(x)dx这里∫f(y)dy表示f的不定积分.注：方程未必线性•线性：y′(x)+p(x)y(x)=q(x)∫p(x)dx两边同乘积分因子m(x)=
12、e可得d()m(x)y(x)=m(x)q(x)dx1⇒y(x)=∫m(x)q(x)dxm(x)2阶常微•常系数、齐次：y′′(x)+ya′(x)+by=02解辅助方程λ+aλ+b=0得到λ,λ.12,y(x)=ceλ1x+ceλ2x;若λ12≠∈λy则12若,则y(x)=ce
