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《数理方程引论chapter-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1章引言与概述§1.1基本概念§1.2常见偏微§1.3典型方程推导§1.4解法初探§1.5预备知识§1.1基本概念微分方程:联系未知函数和它的(偏)导数的方程常微方程:未知函数为单变量函数偏微方程:未知函数为多变量函数线性方程:具有形式L[u]=fu和其导数的线性组合自由项(只依赖独立变量)方程阶数:出现的未知函数(偏)导数的最高阶数齐次方程:Lu[]0≡3例:uxy+u=5ux非线性2阶齐次叠加原理:L[u]=f,L[u]=f1122⇒L[cu+cu]=cf+cf11221122注:(1)若,f1≡f2≡0则c1u1+c2
2、u2(∀c1,c2)是的L[u]=0解(2)叠加原理在非线性情形一般不对!问题:无穷叠加原理是否成立?为什么?(作业)例:ut+ux=0(未u=u(x,t)知)易验证(练习):若g为任意单变量可微函数,则u(xt),=g(x−t)是方程的解2x−t一些显式解:(x−t),5sin(x−t),e,?通解:该(某)偏微方程所有解的集合例:可以证明上例中u(tx),=g(x−t)是方程通解2(x−t)2xu(xt),=e若设u(x)0,=e则确定解为定解问题:偏微方程+定解条件(初)边值条件解稳定性:定解条件微小变动蕴含解微小变动例
3、:uu+=0,0<<>xyπ,0⎧xxyyuuu
4、
5、
6、0===⎨xxy===00π⎩1un
7、s=inxyy=0n1ny−nysinhny=(e−e)可以验证(练习)其有解21u(x,y)=sinnxsinhnyn2n1易见:当时n→∞,(初始)条件sinnx→,0n1解sinnxsinhny(y>0)不趋于02n此即表明该方程解不稳定(Hadamard,1917)注:稳定性在数值(应用)处理时至关重要适定性:解存在性+解唯一性+解稳定性§1.2常见偏微线性偏微1阶:ut+aux+buy=0(Transportequation)
8、22阶:u−au=0(Waveequation)ttxx2u−au=0(Heatequation)txx2∇u:=u+u=0(Laplaceequation)xxyy2u−au+bu+cu=0(Telegraphequation)ttxxt2h2ihu=−∇+uVu(Schrödingerequation)t2m高阶:utt+uxxxx=0(Beamequation)非线性偏微u+uu+u=0(KdVequation)txxxx2det(Du)=f(Monge-Ampèreequation)方程组⎧EB=curlt⎪⎨BEt=
9、−curl(Maxwell’sequations)⎪⎩divBE==div0ddd2d⎧uuu+⋅∇−∇εu=−∇pt⎨d(Navier-Stokesequations)⎩divu=0§1.3典型方程推导例:弦振动方程自由振动模型假设:(1)弦细、均匀且无弯曲阻力,平衡时沿直线拉紧(2)除张力、重力外不受其它外力;重力与张力相比较可以忽略(3)只沿垂直平衡位置方向作微小平面运动2方程:u−au=0ttxx齐次(1+1维)波动方程受迫振动模型假设:(1)、(3)同上(2)除张力外还受到与弦的振动方向平行的作用力(外力)2方程:u
10、tt−auxx=f(xt),非齐次(1+1维)波动方程注:(1)(高频)传输线方程是1+1维波动方程(2)高维波动方程为22u−a∇u=ftt例:热传导方程22u−a∇u=f(有内部热源)t22u−a∇u=0(无内部热源)t稳恒温度场2∇u=f(Poissonequation)2∇u=0(Laplaceequation)注:(1)流体反应扩散方程是热传导方程(2)三大典型2阶偏微方程为:波动、热传导和Laplace方程对应:2阶双曲、抛物和椭圆方程§1.4解法初探例:求方程ux(x,y)=2xy的通解.解:方程两边关于x直接积
11、分可得2u(x,y)=xy+f(y).这里f是关于y的任意函数.注:(1)对某一变量进行积分时,需加上一个关于其余变量的任意函数(2)此法称为“直接积分法”思考:什么样的偏微方程可用此法求解?一般偏微方程不能直接积分求解!自然想法:??偏微方程→常微方程→求解§1.5预备知识常微简单回顾1阶常微•可分离:f(y)y′(x)=g(x)⇒f(y)dy=g(x)dx⇒∫f(y)dy=∫g(x)dx这里∫f(y)dy表示f的不定积分.注:方程未必线性•线性:y′(x)+p(x)y(x)=q(x)∫p(x)dx两边同乘积分因子m(x)=
12、e可得d()m(x)y(x)=m(x)q(x)dx1⇒y(x)=∫m(x)q(x)dxm(x)2阶常微•常系数、齐次:y′′(x)+ya′(x)+by=02解辅助方程λ+aλ+b=0得到λ,λ.12,y(x)=ceλ1x+ceλ2x;若λ12≠∈λy则12若,则y(x)=ce