圆锥曲线探索性型问题分类例析3

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1、圆锥曲线探索性型问题分类例析3探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程．探索性问题是近几年高考的热点问题之一，本文通过几个例子探讨圆锥曲线探索性型问题的解法。一椭圆中探索性问题1．（本小题满分13分）如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别第21题图

2、为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记，△和△的面积分别为和.（Ⅰ）当直线与轴重合时，若，求的值；（Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．21.解：依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为C1：，C2：.其中a＞m＞n＞0，λ＝.(1)解法1：如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0，则S1＝

3、BD

4、·

5、OM

6、＝a

7、BD

8、，S2＝

9、AB

10、·

11、ON

12、＝a

13、AB

14、，图1所以.在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得yA＝m，yB＝n，yD＝－m，于是.若，则，化简得λ2－2

15、λ－1＝0.由λ＞1，可解得λ＝.故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝.解法2：如图1，若直线l与y轴重合，则

16、BD

17、＝

18、OB

19、＋

20、OD

21、＝m＋n，

22、AB

23、＝

24、OA

25、－

26、OB

27、＝m－n；S1＝

28、BD

29、·

30、OM

31、＝a

32、BD

33、，S2＝

34、AB

35、·

36、ON

37、＝a

38、AB

39、.所以.若，则，化简得λ2－2λ－1＝0.由λ＞1，可解得λ＝.故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k＞0)，点M(－a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d

40、1，d2，则，，所以d1＝d2.图2又S1＝

41、BD

42、d1，S2＝

43、AB

44、d2，所以，即

45、BD

46、＝λ

47、AB

48、.由对称性可知

49、AB

50、＝

51、CD

52、，所以

53、BC

54、＝

55、BD

56、－

57、AB

58、＝(λ－1)

59、AB

60、，

61、AD

62、＝

63、BD

64、＋

65、AB

66、＝(λ＋1)

67、AB

68、，于是.①将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得，.根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是＝.②从而由①和②式可得.③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可解得.因为k≠0，所以k2＞0.于是③式关于k有解，当且仅当，等价于由λ＞1，可解得＜t＜1，即，由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤时，不

69、存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k＞0)，点M(－a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d1，d2，则，，所以d1＝d2.又S1＝

70、BD

71、d1，S2＝

72、AB

73、d2，所以.因为，所以.由点A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分别在C1，C2上，可得，，两式相减可得，依题意xA＞xB＞0，所以.所以由上式解得.因为k2＞0，所以由，可解得.从而，解得λ＞，所以当1＜λ≤时，不存

74、在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.练习(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C：(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P在椭圆上得，，①依题设知a＝2c，则b2＝3c2，②②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2

75、＝3.故椭圆C的方程为.(2)方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③代入椭圆方程3x2＋4y2＝12并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝，④在方程③中令x＝4得，M的坐标为(4,3k)．从而，，.注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有.所以k1＋k2＝.⑤④代入⑤得k1＋k2＝＝2k－1，又k3＝，所以k1＋k2＝2k3.故存在常数λ＝2符合题意．(2)方法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为

76、：，令x＝4，求得M，从而直线PM的斜率为.联立得A，则直线PA的斜率为：，直线PB的斜率为：，所以k1＋k2＝＝2k3，故存在常数λ＝2符合题意．例