菱形问题分类例析

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1、动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。一、从三角形纸片中折出菱形例1、将一张三角形的纸片ABC按照如下的折叠步骤进行折叠：O图1（1）将三角形的纸片ABC沿过B点的某条直线折叠，使BC与BA重合，得到折痕与AC的交点D。（2）再将三角形的纸片ABC沿某条直线折叠，使点B与点D重合，得到折痕与BA、BC的交点E、F。则四边形EBFD是菱形。分析：关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等，然后熟练利用菱形的判定进行说理。本题说明四边形EBFD是菱形的方法很

2、多，下面一一予以说明。解：由第一步折叠可知：∠ABD=∠CBD，由第二步折叠可知：EF垂直平分BD，∴BE=DE，DF=BF，OD=OB，∴∠ABD=∠EDB．∴∠EDB=∠CBD．又∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴DE=BF．∴BE=DE=DF=BF．∴四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）．二、从矩形纸片中折出菱形例2、把一张矩形的纸ABCD按照如下的折叠步骤进行折叠：图2O将矩形的纸片ABCD沿某条直线折叠，使点B与点D重合，得到折痕与AD、BC的交点E、F。则四边形EBFD是菱形。分析：虽然纸片不同，但方法同例1一样，说明四边形EBFD是菱形的方法还有

3、很多，下面只选一种予以说明。解：由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BE=DE，DF=BF，OD=OB，-6-∴∠EBD=∠EDB．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠FBD，又∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴DE=BF．∴BE=DE=DF=BF．∴四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）．菱形中的计算题在矩形中，常见的计算题有求线段的长，角的度数，图形的周长与面积等。菱形作为特殊的平行四边形问题，平行四边形的性质它都具有，同时还具有它本身所特有的性质，即菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。下面举例说明这些性质在解

4、题中的应用。一、求角的度数图1例1、如图1，菱形ABCD的一条对角线BD长为12cm，周长为48㎝，求这个菱形的内角的度数。解析：如图1，因为四边形ABCD为菱形，周长为48㎝，所以AB=BC=CD=DA=12㎝，又若BD=12㎝，所以AB=AD=BD，所以ABD为等边三角形，所以∠A=60°，所以又∠ABC=∠ADC=120°，则∠C=60°。例2、如图2，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF.ABDFCE图2解析：连结AC.因为∠B＝60°，AB＝BC，所以△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝60°，因为∠CAF+∠CAE＝60°

5、，∠CAE+∠BAE＝60°，所以∠BAE＝∠CAF.-6-因为四边形ABCD是菱形，所以∠BCD＝180°－∠B＝120°，AC平分∠BCD，所以∠ACF＝60°，即∠B＝∠ACF，在△ABE和△ACF中，因为∠B＝∠ACF，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，所以△ABE≌△ACF，所以AE＝AF，因为∠EAF＝60°，所以△AEF是等边三角形，即∠AEF＝60°，因为∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°+20°＝80°，所以∠CEF＝∠AEC－∠AEF＝80°－60°＝20°.二、求线段的长图3例3、菱形的周长为20㎝，相邻两角的度数之比为1：2，求菱形的较短的对角线长。解析：如图

6、3，因为四边形ABCD为菱形，则CD∥AB，所以∠A+∠ADC=180°，又∠A：∠ADC=1：2，则∠A=60°，又因为菱形的四条边相等，即AB=AD=5㎝，所以ABD为等边三角形，所以AB=BD=5cm，则菱形的较短的对角线长为5cm。三、求图形的周长O图4例4、如图4，菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是24和10，则菱形的周长为，面积为。解析：由于菱形的两条对角线互相垂直平分，所以OA=12，OB=5，所以AB===13，又菱形的四条边都相等，所以菱形的周长为52。又菱形的面积为S△ABD+S△BCD=BD×OA+BD×OC=BD×（OA+OC）=BD×AC=12

7、0。由此可以得到，菱形的面积等于两条对角线积的一半。四、求图形的面积图5例5、如图5，菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AE⊥BC于E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG与AF交于点H，交AD于点G（1）求菱形ABCD的面积（2）求∠CHA的度数解析：（1）连结AC，∵E为BC的中点，AE⊥BC，∴-6-AB=AC，又∵菱形的四边相等，∴AB=BC=AC=4，∴AE==2,∴菱形ABCD的面积为4×2=8（2）因为CG∥AE，又AE⊥BC，所以CG⊥CD，又可得△ACD为