矩形、菱形、正方形、梯形典型问题例析

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1、Http://www.fhedu.cn矩形、菱形、正方形、梯形典型问题例析一、思维误区警示ABNPMDQC例1如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB．求证：四边形PMQN为矩形．错证：连结MN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC．又∵M、N分别为AD、BC的中点，∴AMBN，∴四边形AMNB是平行四边形．∵AB=AD，∴AB=AM，∴四边形AMNB是菱形，∴AN⊥BM，∴∠MPN=，同理，∠MQN=，∴四边形PMQN为矩形．分析：错证由∠MPN=∠MQN=，就判定四边形PMQN

2、为矩形是理由不充分的，还必须证明四边形PMQN是平行四边形才能说明问题．正确证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC．又∵DM=AD，BN=BC，∴DMBN，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM∥DN，同理可证AN∥MC，∴四边形PMQN是平行四边形．连结MN，∵AMBN，∴四边形ABNM是平行四边形，又∵AD=2AB，AD=2AM，∴AB=AM，∴四边形ABNM是菱形，∴AN⊥BM，∴∠MPN=，凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail：

3、admin@fhedu.cn　　　Http://www.fhedu.cn∴四边形PMQN为矩形．例2对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？错解：是．分析：错解中没有真正理解矩形、菱形的概念，误认为对角线相等的四边形必是矩形，对角线互相垂直的四边形必是菱形．其实，满足“对角线垂直且相等的四边形”除正方形外，还可画出无数个符合条件的四边形．正确解法：不一定．若两对角线又互相平分则是正方形，若对角线不互相平分则不是．AFGCDB1243例3如图，D是四边形ABCF的BC边上一点，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD，

4、AC、DF交于点G．求证：四边形ADCF是等腰梯形．错证：∵AB∥DF，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴GA=GD．∵AC=DF，∴GC=CF，∴△GAD、△GCF均为等腰三角形且顶角相等，∴∠3=∠4，∴AD∥CF．∵AD=AD，∠2=∠3，AC=DF，∴△ADC≌△DAF．∴CD=AF，∴四边形ADCF是等腰梯形．分析：在证明AD∥CF，CD=AF后，根据梯形定义，还须证明AFDC，因为AF∥DC时，四边形ADCF是平行四边形．关于这一点在证明梯形时一定要注意．正确证法：∵AB∥DF，∴∠1=∠3，∵∠

5、1=∠2，∴∠2=∠3，∴GA=GD．又∵AC=DF，∴GC=CF，∴△GAD、△GCF均为等腰三角形且顶角为对顶角．由三角形内角和定理知∠3=∠4，从而∴AD∥CF．又AD=AD，∠2=∠3，AC=DF，∴△ADC≌△DAF，∴CD=AF．若AF∥DC，则ADCF是平行四边形，则有AD=CF，与FC＜AD矛盾，凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail：admin@fhedu.cn　　　Http://www.fhedu.cn∴AFDC，ABFDC

6、GE∴四边形ADCF是等腰梯形．一、典型例题精析例4如图，在△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC，垂足为F．求证：四边形AEFG是菱形．证明：∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=，∴EA=EF，∠AEC=∠FEC，∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴∠AGE=∠FEC=∠AEC，∴AE=AG．同理可得EF=FG.．∴四边形AEFG是菱形．评析：由已知可知图中有角平分线、垂线和平行线，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组对边相等，或连结

7、AF，也易证EG与AF互相垂直平分．DCAEFOB例5如图，O为矩形ABCD对角线交点，过O作EF⊥AC分别交AD、BC于F、E，若AB=2cm，BC=4cm，求四边形AECF的面积．解：在矩形ABCD中，OA=OC，AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE，∠AFO=∠CEO，∴△OAF≌△OCE，∴OE=OF．∴EF、AC互相垂直平分，∴四边形AECF为菱形，∴AE=EC．设AE=a，则EC=a，BE=4－a，在Rt△ABE中，AE=AB＋BE，∴a=2＋(4－a)，解得a=2.5．∴=CD·EC=2a=5，即四边形AEC

8、F的面积为5cm．凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail：admin@fhedu.cn　　　Http://www.fhedu.cn评析：求四边形AECF的面积，先应确定四边形AECF的具体形状，然后，再根据已知条件求出确定形状的图形的面积．例6如图，在正方