例析与圆有关的探索性问题

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1、例析与圆有关的探索性问题数学探索是人们探索发现新知识的重要手段，也有利于培养创造性思维能力.因而成为近几年中考数学问题的热门考题，探索性问题，又叫开放性问题．一般地，主要有以下几类；1.探索条件型问题从给定的问题的结论出发，追溯结论成立时应具备的条件。例1如图1（1），△ABC内接于⊙0，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC．DE交直线AB于点E，连接BD．(1)求证：∠ADB=∠E；(2)求证：AD2=AC·AE；(3)当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE？请你利用图1（2）进行探索和证明分析：（

2、1）∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠C也是弧AB所对的圆周角，则∠ADB=∠C，又由条件易得∠C=∠E，即可得∠ADB=∠E；（2）易得△ADB∽△AED，得AD2=AB·AE，再利用等线段代换即可得到AD2=AC·AE；（3）可从特殊的位置进行猜想，即点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。或可先由△DBE∽△ADE推出∠DAC与∠EAD的关系。解：（1）∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E∵∠ADB,∠C都是弧AB所对的圆周角,∴∠ADB=∠C又∠ABC=∠C，∴∠ADB=∠E(2)∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE．∴

3、△ADB∽△AED∴,即AD2=AB·AE∵∠ABC=∠C，∴AB=AC∴AD2=AC·AE(3)点D运动到弧BC中点时．△DBE∽△ADE∵DE∥BC．∴∠EDB=∠DBC．∵∠DBC所对的是弧DC,∠EAD所对的是弧DB4/4∴∠DBC=∠EAD,∴∠EDB=∠EAD又∠DEB=∠AED∴△DBE∽△ADE点评：本题充分利用圆周角相等的条件，得到三角形相似的关系。我们在解决与圆有关的问题时，通常找到已知圆周角所对弧，看看怎么样通过弧和未知角建立起联系。2.探索结论型问题一般从题设出发，通过观察、比较、分析、综合、抽象、归

4、纳、猜想探求出结论，然后进行论证．例2.如图2，在⊙0中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F．(1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？(2)如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？与的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？图2分析:（l）由∠AOB=∠COD，可得AB=CD．又因为OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得AE=CF，进而利用直角三角形全等可说明OE＝OF．（2）由Rs△OAE≌Rt△OCF得AE=CF，再结合垂径定理说明AB=CD，则问题迎刃而解．

5、解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE＝OF．理由是：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD．∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=AB，CF=CD．∴AE=CF．又∵OA=OC，∴Rt△OAE≌Rt△OCF，∴OE=OF．4/4点评:本例是圆心角、弧、弦相等关系定理的综合运用．通过本例我们可以看出圆心角、弧、弦相等关系定理可以扩充为：圆心角、弧、弦、弦心距相等关系定理．即这四组量中有一组量相等，其他各组量分别对应相等．3.探索规律型问题解决探索规律型问题，要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找存在于个例中的共性.例3.不过圆心

6、的直线l交O于C,D两点，AB是O的直径,AE⊥l，垂足为E,BF⊥l垂足为F.(1)在图3中的三个圆中，分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其他字母），找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得的结论．图3分析：直线l与AB只有两种位置关系：相交和平行．但题目中让画三种不同的位置关系，显然平行情况只有一种，故应探讨一下l与AB相交时，看还能有何不同情况，以此为突破口．解

7、：(1)如图4．4/4图4(2)三个图形都具有CE=DF或ED＝FC.(3)以图4(1)证明结论，作OG⊥l于点G，则CG=GD．∵AE⊥l，BF⊥l，OG⊥l，∴AE∥BF∥OG.又∵OA＝OB．∴EG=FG.∴EG-CG＝FG-DG.即CE＝DF.点评:解类似问题的关键是立足于已知条件和所学知识的，进行综合分析，大胆、合理的猜想、论证．第(1)小题考查思维的周密性和逻辑性；第(2)小题主要考查现察能力和分析问题的能力．故在平时应逐步培养思维的灵活性、新领性、创造性，以适应当今中考的需要．4/4