第二篇 回归分析与相关分析(8)—作业2007-12-23

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1、研究生地理数学方法回归分析与相关分析第二篇回归分析与相关分析第二篇作业题⒈证明题⑴试证①；②。证：①展开x、y的校正交叉乘积和可得,展开分母中的一部分即x的校正平方和得到,同理，展开y的校正平方和得到.下面的结果显而易见。②根据上面展开的结果，容易得到.⑵假定的反函数为，试证。证明：对于，我们有；完全类似，对于，可知20研究生地理数学方法回归分析与相关分析。因此。⑶试证明。证明：根据下式,可知.因此，对于一元线性回归.⑷试证明。证明：根据定义.考虑到，以及20研究生地理数学方法回归分析与相关分析.应有.从而.比较F和t的表达容易看出.⑸我

2、们知道，一元线性方程的回归系数b和相关系数R可以表作，，式中，分别为x和y的校正平方和。要求：①建立回归系数和相关系数的关系。证明：显然关系如下。②证明对于标准化的x和y值，必有。提示：数据标准化的公式为（）式中为平均值，而为基于抽样方差的标准差。20研究生地理数学方法回归分析与相关分析证明：我们知道，对于标准化数据，均值为0，方差为1。根据数据标准化公式和校正平方和的定义，同理可得。将这些结果代入R与b的关系式，立即得到。（6）VIF计算公式的证明。考虑线性回归方程,以二元线性回归为例，证明如下问题。①对于标准化的自变量，建立矩阵X*，

3、则为自变量x1和x2的简单相关系数矩阵。②C的逆矩阵的对角线的元素等于方程膨胀因子（VIF）值。证明：①参见第2章和关于因子分析一章的有关内容。②相关系数矩阵表作,根据相关系数的性质，式中,.于是C的逆矩阵可以写作,根据线性代数知识可知，式中C矩阵对应的行列式为20研究生地理数学方法回归分析与相关分析,C的伴随矩阵为.所以逆矩阵为.显然,.⒉计算题为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见下表1-1）。表1-1年份最大积雪深度x(米)灌溉面积y(千亩)xi2yi2xiyi预测值残差19

4、7115.228.6197210.419.3197321.240.5197418.635.6197526.448.9197623.445.0197713.529.2197816.734.1197924.046.7198019.137.4∑利用本节公式，借助Excel计算：①表中各项指标；②回归参数a、b，并给出回归模型；③计算总平方和SSt即Syy、剩余平方和SSe及回归平方和SSr；④验证如下关系20研究生地理数学方法回归分析与相关分析,,,.⑤验证如下关系：SSt=SSr+SSe，即.⑥相关系数R和标准误差s；⑦计算F值、t值和DW值

5、；⑧计算残差与自变量的相关系数，分析结果。⑨假定1981的积雪深度为27.5米，估计当年的灌溉面积大约为多少？⒊多元回归分析⑴为了考察工业、农业和固定资产投资对交通运输业的影响，利用SPSS统计分析软件对某省1970－1987年18年的产值数据进行多元回归分析和逐步回归分析，指出多重共线性的问题实质所在（见下表1-2）。表1-2序号年份工业产值x1农业产值x2固定资产投资x3运输业产值y1197057.8227.0514.543.092197158.0528.8916.833.403197259.1533.0212.263.8841973

6、63.8335.2312.873.905197465.3624.9411.653.226197567.2632.9512.873.767197666.9230.3510.803.598197767.7938.7010.934.039197875.6547.9914.714.3410197980.5754.1817.564.6511198079.0258.7320.324.7812198180.5259.8518.675.0413198286.8864.5725.345.5914198395.4870.9725.066.0115198410

7、9.7181.5429.697.03161985126.5094.0143.8610.03171986138.89103.2348.9010.83181987160.56119.3360.9812.90资料来源：李一智等，1991。⑵以国内生产总值（GDP）为因变量，分别借助Excel和SPSS对我国1995年社会经济发展的8项指标进行多元回归分析和逐步回归分析（见下表1-3）。表1-320研究生地理数学方法回归分析与相关分析地区国内生产总值工业总产值固定资产投资全社会货物周转量职工平均工资居民消费水平消费价格指数商品零售价格指数北京13

8、94.891908.62519.01373.981442505117.3112.6天津920.112094.01345.46342.865012720115.3110.6河北2849.5239