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1、第二篇回归分析与相关分析第二篇作业题⑴试证心D工（兀一壬）（儿一刃工I一工兀工）‘〃①/<=I=I=』。1：（工川］［工*-：（工订】为（兀-可（儿-刃72工栩-工兀•工1.证明题21工（旺-元亍川工汀_（工兀J，证：①展开心y的校正交叉乘积和可得X（兀一丘）（儿一刃二工（兀』一兀$-刃（+好）二工兀y,一亍工兀一丘工X+厉=工兀兀一丄工兀工兀一丄工兀工兀+乃丄工兀丄工X=工兀必-工x》yjn,nnnn展开分母中的一部分即x的校止平方和得到工（七-X）2=工（兀：-2XX,.+X2）=工兀：一2丘工七+HX2=工兀「_2•丄工无工无+72•丄工心丄工"=SX/-（工兀）
2、2/〃，nnn同理，展开y的校正平方和得到工（开-刃2=为宀（工片）2/"・下而的结果显而易见。②根据上面展开的结果，容易得到工兀2-（0,）5吃兀2_（工兀）2b=工兀兀一工兀工儿/"_"工兀为一工兀工⑵假定y=a+bx的反函数为x=a+b9y,试证bbf=R2o证明：对于y=我们有Sxx完全类似，对于x=af+bfy,【J知因此b9S)7⑶试证明SxxSxy_Sxy2SyySxxSyyR21n-k-I(I-/?2)可知因此，对于一元线性回归为（R-疔二工®—刃2/工（”一刃2缶工47）2缶工心一沪①®—刃2工®-刃2/工（）,•一刃2一工®T）2T门二匕（i2）（4
3、）试证明Vfon-k-证明:根据定义S_足（乳_汀心_£_1）_元亍工（心-元）2vSxxss°考虑到b=Sxy/Sxxf以及应有从而SxyyjSxxSyy躺(i2)比较F和/的表达容易看出r=Vf.⑸我们知道，一元线性方程的回归系数b和相关系数/?可以表作yjSxxSyy式屮Sxx=^(xi-x)2,Syy=£(x•-刃$/=!/=l分别为X和y的校正平方和。要求：①建立回归系数和相关系数的关系。证明：显然关系如下②证明对于标准化的x和)，值，必^R=b.提示：数据标准化的公式为拿X；-X兀=CF式中为平均值，而cr=[£(d2]"2Z=1为基丁抽样方差的标准差。证
4、明：我们知道，对于标准化数据，均值为0,方差为1。根据数据标准化公式和校正平方和的定义SXX=£（X：_H）2=£（无：）2=£（兀2人）=72一1,j=I/=1/=!：同理可得=-y）2ft。1=1将这些结果代入R与b的关系式，立即得到b。R=b・n-(6)VIF计算公式的证明。考虑线性冋归方程以二元线性回归为例，证明如下问题。①对于标准化的口变量，建立矩阵X*,则U」2x2,丄(XX)也•n为自变量山和兀2的简单相关系数矩阵。②C的逆矩阵的对和线的元索等于方程膨胀因了(VIF)值。证明:①参见第2章和关于因了分析一章的有关内容。②相关系数矩阵表作&2_1&2人21
5、51'C根据相关系数的性质，式屮33+少届，心#22=1.于是C的逆矩阵町以写作C-1=—c*
6、c
7、S根据线性代数知识町知，式中C矩阵对应的行列式为C的伴随矩阵为C*所以逆矩阵为C'11・]1—&2尺21R2%1=1-尺12人21'_1_尺21■-&21_■1-R2/?211-1—Rl2^21—心11一尺2人21-醞.显然VIF
8、=2.计算题为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见下表l-l）o表1-1年份最大积雪深度x（米）灌溉面积y（千亩）X?y,2师预测值残差197115.22&6197210.419.
9、3197321.240.5197418.635.6197526.44&9197623.445.0197713.529.2197816.734.1197924.046.7198019.137.4Z利用本节公式，借助Excel计算：①农中各项指标；②回归参数d、b,并给出回归模型;③计算总平方和SS/即Syy、剩余平方和SSw及回归平方和SSr；①验证如下关系£（%-刃=0,£®-必）=0,£（免一刃=0,£（兀一刃）（免一刃=o.f=li=lz=lZ=1②验证如下关系：SS戶SSr+SSe,即为（儿-刃〜工（儿TJ2+工仇-刃〔③相关系数R和标准谋差5；④计算F值、/值和
10、DW值；⑤计算残差与口变量的相关系数，分析结果。⑥假定1981的积雪深度为27.5米，估计当年的灌溉面积人约为多少?3・多元回归分析（1）为了考察T业、农业和固定资产投资对交通运输业的影响，利用SPSS统计分析软件对某省1970-1987年18年的产值数据进行多元回归分析和逐步回归分析，指出多重共线性的问题实质所在（见F表l-2）o表1-2序号年份:1：业产值X]农业产值X2固定资产投资占运输业产值y1197057.8227.0514.543.092197158.0528.8916.833.403197259.1533.0212.263.
