高中数学 第二章 解三角形双基限时练16（含解析）北师大版必修5

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1、双基限时练(十六)一、选择题1．某次测量中，A在B的南偏东34°27′，B在A的(　　)A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西55°33′解析　画图可得．答案　A2．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走了3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为(　　)A.B．2C．2或D．3解析　如图所示，由余弦定理得3＝9＋x2－2×3x·cos30°，得x＝2，或x＝.答案　C3．一树干被台风吹断，折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20

2、米，则树干原来的高度为(　　)A.米B．20米C.米D．20米解析　如图，在Rt△ABC中，AC＝20，∠C＝30°，AB＝AC·tan30°＝，BC＝＝.∴树干高h＝＋＝20(米)．答案　B4．在地面上一点A处测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方面前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为(　　)A．237mB．227mC．247mD．257m解析　由图可知tan60°＝，∴＝，得h＝≈237(m)．答案　A5．海面上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°视角，

3、从B岛望C岛和A岛成30°视角，则B与C之间的距离是(　　)A．10海里B.海里C．5海里D．5海里解析　如图BC＝ABsin60°＝5海里．答案　D6．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为(　　)A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时解析　设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40cos45°≤302.化简得4t2－8t＋7≤0，∴t1＋t

4、2＝2，t1·t2＝.从而

5、t1－t2

6、＝＝1.答案　B二、填空题7．如图，A、N两点之间的距离为________.解析　由正弦定理得＝，得AN＝＝40.答案　408．两座灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为______________________________________________．解析　由图可知∠ACB＝120°，由余弦定理可知：

7、AB

8、＝＝akm.答案　akm9．有一长为100m的斜

9、坡，它的倾斜角为45°，现打算把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________m.解析　如图可知BC＝AB＝50m，tan30°＝＝＝得DC＝50(－)m.答案　50(－)三、解答题10．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解　在△ABC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－.又∠ADC为三角形的内角，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定

10、理得＝，所以AB＝＝.11．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，求小岛到公路的距离．解　如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．由正弦定理得＝，所以BC＝·sin15°＝(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝·＝(km)．12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.(1)设

11、向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求sinA＋2cosBcosC的值；(2)已知a2－c2＝8b，且sinAcosC＋3cosAsinC＝0，求b的值．解　(1)由题意得x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，∵z∥(x＋y)，∴cosC(sinB＋cosB)＋cosB(sinC＋cosC)＝0.即sinBcosC＋cosBsinC＝－2cosBcosC.∴sinA＋2cosBcosC＝0.(2)由已知可得

12、sinAcosC＝－3cosAsinC，由正弦定理及余弦定理，得a×＝(－3)××c.化简并整理，得a2－c2＝2b2.又由已知a2－c2＝8b，∴2b2＝8b.解得b＝4或b＝0(舍)，∴b＝4.思维探究13．如图所示，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．解　在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得＝.∴BC＝＝km.在△A