1.3 探索三角形全等的条件 （7）

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1、数学教学设计教　　材：义务教育教科书·数学（八年级上册）1.3　探索三角形全等的条件（7）教学目标1．会作一个角的角平分线，能证明作法的正确性，并在经历“观察——操作——证明”的活动过程中养成善于分析、乐于探究和理性思考的良好习惯．2．会过一点作已知直线的垂线，能证明作法的正确性，体会与“作一个角的角平分线”作法的联系，在比较中探究作法．3．能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维．教学重点会“作已知角的角平分线”和

2、“过一点作已知直线的垂线”．教学难点几何图形信息转化为尺规操作．教学过程（教师）学生活动设计思路图（1）（一）情境创设工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图（1），在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．请同学们说明这样画角平分线的道理．提取信息，利用“SSS”说明画角平分线的道理．呈现工人师傅常常利用角尺平分一个角的情境，为探究新知提供“脚手架”，为“探索活动一”的证明提供思路．（二）探索活

3、动一图（2）1．说请按序说出木工师傅的“操作”过程．2．作与写　用直尺和圆规在图（2）中按序将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法．3．证请证明你的作法是正确的．4．用用直尺和圆规完成以下作图：（1）在图（3）中把∠MON四等分．图（3）（2）在图（4）中作出平角∠AOB的平分线．图（4）说明：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的角平分线．积极思考，回答问题，整理成下列形式：取OC=OD移CM=DM画射线OM以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．分别

4、以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M．作射线OM说：作：证明：在△MOC和△MOD中，OC＝OD，OM＝OM，CM＝DM，∴△MOC≌△MOD（SSS），∴∠COM＝∠DOM，即OM平分∠AOB．通过学生的“说”，进一步加强学生对工人师傅操作过程的理解，引发学生的数学思考，即将相关的几何信息转化为尺规的操作方法．“说”与“作”对应，为学生“按序”尺规作图提供更为清晰的流程，这样设计使得学生易想、易作和易写，对突破难点，养成有条理的思考十分有益．“用”就是为了巩固

5、新知和发现新法．（三）探索活动二1．观察思考．在图（2）作图的基础上，作过C、D的直线l（如图（5）），观察图中射线OM与直线l的位置关系，并说明理由．图（5）l先独立思考，再互相讨论，踊跃回答：1．OM⊥l，说明理由略．2．（1）比较直线l点O直线AB点POM⊥直线lPQ⊥直线AB（2）分析作图的关键是在直线AB上确定C、D两点，使得PC＝PD；确定点Q，使得CQ＝DQ．利用已有的图形进行分析，学生对问题的研究既有亲切感又有探究的欲望，此时顺理成章的提出所研究的问题．“类比”2．问题变式．你能

6、用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗？（如图（6），经过直线AB外一点P作AB的垂线PQ）．图（6）3．比较分析．引导学生比较新旧两个问题之间的联系，寻求解决新问题的策略．4．作图与证明．（图7）（1）作法步骤1　以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于C、D．步骤2　分别以点C、D为圆心，大于Error!Nobookmarknamegiven.CD的长为半径作弧，两弧交于点Q．步骤3　作直线PQ．∴直线PQ就是经过直线AB外一点P的AB的垂线（如图（7））．（2）证明略．5．

7、归纳总结．根据活动一中的4（2）与活动二可知：经过一点可用直尺和与圆规作一条直线与已知直线垂直．3．学生尝试作图（如图（7））并书写作法：（1）作图；（2）书写作法；（3）证明．是发现解决问题策略的一种有效方式，学生通过比较新旧问题的有关信息，不难发现解决新问题的方法，有效地突破了难点．让学生在活动一的基础上尝试“边作边写”，有利于培养学生的作图能力和几何素养；另外另一方面将“作图、作法、证明”融为一体，有利于培养了学生严谨的数学思维．（四）知识运用图（8）用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两

8、条直角边分别等于a、b（如图（8））．1．学生尝试作图；2．交流作法；3．总结作两条相互垂直直线的方法．本题解决的关键是作两条相互垂直的直线，但点的位置没有确定，故根据点的位置的不同可选择不同的解题策略．（五）拓展延伸图（9）如图（9），已知A、B是l上的两点，P是l外的一点．（1）按照下面画法作图（保留作图痕迹）：①以A为圆心，AP为半径画弧；②以B为圆心，BP为半径画弧；③设两弧交于点Q（Q与P分别在l的两旁）；④连结PQ．（2）求证：PQ⊥l．1．学生按要求独立作图与证明；2．小组交流：与