数值分析课程设计报告(95分)

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1、22数值分析课程设计报告设计题1、2、3、5学院、系：专业：姓名：学号：任课教师：提交日期：电子邮箱：22目录[设计题一]31.1问题分析与设计思路31.2程序清单41.4结果分析71.5设计总结7[设计题二]82.1问题分析与设计思路82.2程序清单82.3运行结果102.4结果分析与设计总结10[设计题三]113.1问题分析与设计思路113.2程序清单113.3运行结果133.4结果分析与设计总结13[设计题五]144.1问题分析与设计思路144.2程序清单154.3运行结果204.4结果分析21

2、【数值分析课程设计总结】2222[设计题一]设计实验验证Hilbert矩阵的病态性。1.1问题分析与设计思路在求解任何反问题的过程中通常会遇到病态矩阵问题，而且病态矩阵问题还未有很好的解决方法，尤其是长方形、大型矩阵。目前主要有Tikhonov、奇异值截断、奇异值修正等方法。　求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵就是病态矩阵。解线性方程组Ax=b时，若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb,方程组(A+δA)χ=b+δb的解χ与原方程组Ax=b的解差别很大，则称矩阵A为病态矩阵。方程组的近似解χ

3、一般都不可能恰好使剩余r=b-Aχ为零，这时χ亦可看作小扰动问题Aχ=b-r(即δA=0，δb=-r)的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。因此，设计思路如下：令x0=（1,1…..1），计算出b=Hx0，求出b，然后再用高斯消去法球解Hx=b，得到近似解x，然后利用标准差：22比较x与x0之间的误差。截图是取了几个n（程序中设置为1至30）去计算，看一下随着n的增大误差的变化情况。1.2程序清单共两个文件qm1.mgauss_liezhu1.m（在qm1.m中调

4、用此程序）qm1.mgauss_liezhu1.m221.3运行结果N不同取值时的误差截图N=2N=1N=12N=30N=14N=81.4结果分析22按照N的递增顺序取了9个误差数据，制成散点折线图如上所示。由此可以看出，此矩阵求解方程组时对数据的小扰动很敏感实验验证Hilbert矩阵的病态性成立。1.5设计总结（1）认识什么事矩阵的病态性（2）令x0=（1,1…..1），计算出b=Hx0，求出b，然后再用高斯消去法球解Hx=b，得到近似解x，然后利用标准差公式比较x与x0之间的误差。（3）取几个点进

5、行误差记录（4）绘制误差的散点图，形象分析[设计题二]1225年，达芬奇研究了方程并得到它的一个近似根22。没有人知道他用什么方法得到它。设计两种方法去计算，并比较这两种方法。2.1问题分析与设计思路f(x)=0的根(或f(x)的零点)，当f(x)复杂时，很难求，需要找到有效简单的近似方法去求：（1）二分法理论:f(x)∈C[a,b],单调,f(a)f(b)<0，f(x)=0在(a,b)中有惟一根。（2）迭代法（3）牛顿（Newton）法针对本题，采用了两种方法。第一种方法是二分法，得到的近似根与精确

6、解的误差小于。第二种方法是用牛顿迭代法。二分法优点：条件和方法简单(只要求f(x)连续即可)，方法收敛；缺点：收敛速度慢，不易求偶数重根（如图）.Newton迭代法迭代公式2.2程序清单二分法程序：erfen.mNewton迭代法程序：qm2_2.mnanewtom.m(在qm2_2.m中调用)22二分法Newton迭代法222.3运行结果二分法：Newton迭代法2.4结果分析与设计总结通过二分法与Newton迭代法得出的答案相同。（1）确定求方程近似根的三种方法（2）翻书了解编程步骤（3）总结本章

7、重点知识：1.熟悉区间二分法；2.熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理；3.熟悉Newton迭代法及其几何意义;4.熟悉收敛阶的定义；5.熟悉Newton迭代法的收敛阶;22[设计题三]某飞机头部的光滑外形曲线的型值点坐标由下表给出:012345678910070130210337578776101211421462184105778103135182214244256272275试建立其合适的模拟曲线（未必是用拟合方法），并求在点x＝100，250，400，500，800处的函数值y及一阶、二阶导数值y

8、’，y”。绘出模拟曲线的图形。3.1问题分析与设计思路曲线拟合的一般步骤（一）绘制散点图，选择合适的曲线类型　　一般根据资料性质结合专业知识便可确定资料的曲线类型，不能确定时，可在方格坐标纸上绘制散点图，根据散点的分布，选择接近的、合适的曲线类型。　　（二）进行变量变换，使变换后的两个变量呈直线关系。　　（三）按最小二乘法原理求线性方程和方差分析　（四）将直线化方程转换为关于原变量X、Y的函数表达式此题用三次样条插值　三次样条函数定义:函数S(x)∈C2