数值分析课程设计报告

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1、数值分析课程设计报告摘要（中）：本文建立在数值分析的理论基础上，能够在Matlab环境中运行，给出了理论分析、程序清单以及计算结果。更重要的是，还有详细的对算法的框图说明。首先运用Romberg积分方法对给出定积分进行积分，然后对得到的结果用插值方法，分别求出Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，再运用最小二乘法的思想求出拟合多项式，最后对这些不同类型多项式进行比较，找出它们各自的优劣。Summary(Enlish):Thisessayisbasedonnumericalanalysis,andcouldbeope

2、ratedinMatlabenvironment,includingtheroyanalysis,programandresults.What’smore,therearedetaileddiagramwhichshowshowthealgorithmworks.ItfirstusestheintegratingmethodofRomberg,whichisanimprovedtrapezoidalintegration,tosolvethegivendefiniteintegral,thenwecreateLagrange’s

3、interpolationpolynomialandNewton’sinterpolationpolynomial.Andaccordingtoleastsquaremethod,curvefittingpolynomialiscreated.Atthelastpartoftheessay,wecomparethesedifferentpatternsofpolynomial,foundingtheirdistinctiveadvantagesanddisadvantages.主题词：Romberg积分，插值方法，Langran

4、ge插值多项式，Newton插值多项式，拟合多项式。14一.问题提出：已知椭圆的周长可以表示成s=a(0<<1),取a=1,⑴针对从0.1到0.9（步长h=0.1）分别求出周长s;(用Romberg积分方法)⑵对于以上数据，求出的插值多项式；⑶对于⑴中数据，试用最小二乘法的思想求作拟合多项式（要求是偶次），并对这些多项式的优劣进行比较。二．问题解决：依据问题出现先后顺序，对三个小问进行讨论。⑴Romberg算法是在复化梯形求积公式的基础上，应用理查逊外推构造的一种数值积分方法。由复合梯形公式的展开定理，得到如下关系式：T1(h)

5、-I=aah2+a2h4+a3h6+…+amh2m+…其中，I=,T1(h)=Tn.利用Richardson外推定理对T1(h)进行加速，注意这里取m=1,q=,有利用T0()和T0()可以得到实际上T1(h)就是复化抛物线求积公式，一般的计算公式(m=1,2,…,k=0,1,2,…)即.由于Romberg求积过程是每次把区间缩小一半，所以Romberg积分方法也叫做逐次分半加速收敛法。Robermg求积算法的计算过程如下：⑴取k=0,h=b-a,求=令1→k(k记区间[a,b]的二分次数).⑵求梯形值T0，即按递推公式计算.1

6、4⑶求加速值，按公式逐个求出如表的第k行其余各元素Tj(k-j)(j=1,2,…,k).⑷若<(预先给定的精度)，则终止计算，并取Tk(0)≈I,否则令k+1→k转⑵继续计算。Romberg算法的计算过程列出如下表：kh(步长)T0(k)T1(k)T2(k)T3(k)0hT0(0)①1h/2T0(1)②T1(0)③2h/22T0(2)④T1(1)⑤T2(0)⑥3h/23T0(3)⑦T1(2)⑧T2(1)⑨T3(0)⑩………………表中①~⑩表示计算顺序，k表示二分次数。程序框图：构造4阶零矩阵D第一列元素R(J,1)存放二分J次后

7、的梯形值利用公式依据T表顺序求每行其余元素R(J,K)，保存在一个特别的下三角矩阵中当

8、R(J,J)-R(J+1,J+1)

9、<ε时，程序在第J+1行结束编写Matlab程序Romberg.m:functionRomberg(p,k)M=1;a=0;b=2*pi;h=b-a;err=1;i=0;R=zeros(4,4);R(1,1)=h*(feval('f',p,a)+feval('f',p,b))/2;while(err>0.0001&i

10、i<4i=i+1;h=h/2;s=0;forn=1:Mx=a+h*(2*n-1);s

11、=s+feval('f',p,x);end14R(i+1,1)=R(i,1)/2+h*s;M=2*M;forj=1:iR(i+1,j+1)=R(i+1,j)+(R(i+1,j)-R(i,j))/(4^j-1);enderr=abs(R(i,i)-R(i+1,i+