自主招生递推数列求通项专题

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1、1、递推方法：用枚举法求初始值，建立递推关系，利用递推关系求解。例1、将圆分成个扇形，现用种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻的扇形的颜色互不相同，问有多少种不同的染色方法？解析：利用递推关系f(m,n+1)=(m-2)f(m,n)+(m-1)f（m,n-1),结合初值f(m,1)=m,f(m,2)=m(m-1),利用特征根法，即可算出f(m,n)=(m-1)^n+(-1)^n*(m-1)例2、用1,2,3组成位数，如果要求没有2个1相邻，问：这样的位数共有多少个？2、几类常见递推

2、问题①多项式（或含指数式）线性一阶递推数列基本形式：基本方法：，其中：练习1、练习2、，求总结一下：我们现在都会解决什么问题：（1）、线性问题基本能处理；（2）、非线性问题怎么处理？②非线性转线性求解练习3、在数列中，=。练习4、在数列中，，则。练习5、在数列中，。总结：由非线性转线性的方法（1）取对数；（2）取倒数；（3）同除；（4）移项，找相同结构③分式线性递推数列基本形式：基本方法：称方程的根为该数列的不动点，若该数列只有唯一不动点，则；若该数列有两个不同的不动点，则。练习6、练习7、设，证明：

3、练习8、。求数列的通项公式④二阶常系数线性递推练习9、数列中，，求练习10、数列中，，求基本形式：[特征方程的根，特征根法得到的解是大学叫齐次方程的解]基本方法：构造，系数可由方程组解得，则得到为等比数列，公比为，其首项为，就得到了一个一阶线性递推：⑤关注其它方法练习11、数列中，，，求练习12、已知数列中，，(n)，求；分析：方法（一）当时，由得，两式相减，得：猜想an=√n-√(n-1)证明：①当n=1时，S1=a1=1,1/2(a1+1/a1)=1，命题成立②假设n=k时，命题成立，即ak=√k

4、-√(k-1)则当n=k+1时，a(k+1)=S(k+1)-Sk=1/2[a(k+1+1/a(k+1)-ak-1/ak)]即a(k+1)-1/a(k+1)=-(ak+1/ak)=-2√k即a(k+1)^2+2√k*a(k+1)-1=0（解一元二次方程）解得a(k+1)=√(k+1)-√k（舍去负根），命题也成立综上，an=√n-√(n-1)下面是我的解法：Sn=1/2(an+1/an)①S(n-1)=1/2(a(n-1)+1/a(n-1))②①-②，得an=1/2(an-a(n-1)+1/an-1/a

5、(n-1))即an+(a(n-1)+1/a(n-1))-1/an=0an^2+2S(n-1)an-1=0由an>0解得an=√(S(n-1)^2+1)-S(n-1)=1/[√(S(n-1)^2+1)+S(n-1)]代入①式得Sn=√(S(n-1)^2+1)Sn^2=S(n-1)^2+1所以{Sn^2}为首项1公差为1的等差数列Sn^2=n即Sn=√nan=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)（原题少了条件an>0，否则所求数列不唯一例3、将棱锥的各顶点染色，每个顶点染一种颜色，同一棱的两端点不同色，

6、今有种颜色可供使用，问有多少种不同的染色方法。（仿例1）例4、一个递增的整数数列，如果它的第1项为奇数，第2项为偶数，第3项为奇数，第4项为偶数，依此类推，则称它为交错数列，空集也当作一个交错数列。每项取自集合的交错数列的个数记为，求。例5、在平面上，一个椭圆将平面分为两部分，两个椭圆最多将平面分成6部分，问10个椭圆最多把平面分成几个部分？（其实主要是看增加了几个交点，平面切割空间则看最多增加多少交线，直线增加n个交点，增加n+1个部分，封闭曲线增加n个交点，增加n个部分：此题可以扩展为椭球切割空间

7、。面切割空间与线切割平面的结果是一样的）解析：初中竞赛题：一条直线将一个平面分割成两个部分，两条直线能分割成四个部分，那么n条直线能把平面分割成多少个部分？该题是考查归纳推理的，由a2-a1=4，a3-a2=8，a4-a3=12，可推测an-a(n-1)=4(n-1),所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+...+(an-a(n-1))=2+4+8+12+...+(4n-4)=2+[4+4(n-1)](n-1)/2=2n^2-2n+2. 例6、整数1,2，……，的排列满足：每个数，要么大于它

8、前面的所有的数，要么小于它前面的所有的数，试问有多少个这样的排列？（这题用递推就不好使了）解析：按n个步骤进行，第一步排第n个位置上的数有两种可能：n或1，第二步排第n-1个位置上的数也有两种可能：若第一个排n，则第二步排n-1；若第一步排1，则第二步排n或2，以后每一步都与此类似，由乘法原理知，所求排列.共有2的n次方种