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时间:2018-09-16
《高考数学专题复习讲练测——专题三 三角函数 专题复习讲练 2 三角恒等变换》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§2 三角恒等变换 一、复习要点 三角函数式的恒等变换是解答三角函数问题的方法基础.所谓三角式的恒等变换,就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式.同一式子的不同形状,可以暴露式子的不同整体性质,我们对式子作恒等变换的目的,就是要把我们所需的整体性质显现出来. 对式子的一次变形常常不能得到所需形状,须经过数次变形转化,才能达到目的.如何选择变形起步点?如何一步一步把给定式子转化为所需形状?通过对例题及训练题的分析,总结归纳出思维规律来,这是本节复习的重难点;本节复习的另一重点是,如何把一个三角函数问题化归为三角式的恒等变形问题. 三角式的化简、求值问题,是训练
2、三角恒等变换的基本题型. 求三角函数的最小正周期、求三角函数最值、证明三角恒等式、解证三角方程或三角不等式问题,一般都要借助三角恒等变换而完成. 联想三角公式与基本题型,并把二者与方程、不等式观点综合运用,这是运用三角恒等变换解答三角函数问题的思维关键. 例1 (1)函数y=2sinxcosx+2cos2x的最小正周期是( );A.(π/2) B.π C.2π D.4π(2)函数y=2sinxsin2x的最大值是( );A.(64/27) B.(8/9) C.2 D.(/2)(3)若(1/cosθ)-(1/sinθ)=1,则sin2θ的值等于
3、_________. 讲解:(1)本题是判定一个较复杂三角函数的最小正周期问题.联想与此问题有关的基础知识与方法,想起我们会求角为ωx+φ的基本三角函数的最小正周期,自然产生这样一个解题念头:希望运用三角公式和概念把原函数式变形为y=Asin(ωx+φ)+B(或y=A·cos(ωx+φ)+B)的形式,然后用熟知方法求出最小正周期.在这一思路指导下,着重观察已知三角函数式的结构特点,朝着既定目标方向,发现用倍角公式与和角公式能完成变形工作,得解法如下: y=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+(π/6))+1, ∴ T=(2π/2)=π
4、,故选B. (2)本题是一道无附加条件的最值问题.回忆求三角函数最值的基本模型方法,想到用三角恒等变换向基本模型转化,但转化方向一下看不透,应在变形过程中逐步明朗化. 首先想到应用倍角公式,把原式化为y=4sin2xcosx,接着思考第二步变形.想法一:希望把原式化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式;想法二:希望把原式化为二次函数模型.这两种转化思维均受阻以后,应重新深入分析y=4sin2xcosx的结构特点,从中找出转化的新出路. 注意到y的最大值应在cosx>0时取得,因此:①y=4sin2xcosx可视为正变量的乘积,所以y与y2=16sin4xcos2x同时取得最大
5、值;②由y2的表达形式与sin2x+cos2x=1,联想到均值不等式,产生出想用均值不等式实施转化的思维方向——设法把式子变形为能用均值不等式求最值的形式.构思后,可得如下解法:当cosx>0时,当且仅当sin2x=2cos2x,即cos2x=(1/3)时,等号成立.故选B. (3)这是一道填空题.条件为:sinθ与cosθ满足的一个方程式;目标为:求sin2θ的值.由目标首先联想到正弦倍角公式,得sin2θ=2sinθ·cosθ,看到了目标与条件的内在联系,萌发出解题的方程观点,想到由方程组(1/cosθ)-(1/sinθ)=1,求出sin2θ.sin2θ+cos
6、2θ=1,细思考感觉,先求出sinθ与cosθ的方法比较繁,暂不采取.转而思考:能否对条件中的方程式实施三角恒等变换,产生出关于sin2θ的方程而求得其值.朝着这一既定方向,运用三角恒等变换和解方程的方法,便可获得如下两种解法:解法1(1/cosθ)-(1/sinθ)=1((1/cosθ)-(1/sinθ))2=11/cos2θ)-(2/sinθcosθ)+(1/sin2θ)=1(1/sin2θcos2θ)-(2/sinθcosθ)=1,即(1/sinθcosθ)2-2(1/sinθcosθ)-1=0. 解得 (1/sinθcosθ)=1±. 又由
7、sinθcosθ
8、
9、≤1|(1/sinθcosθ)|≥1, ∴(1/sinθcosθ)=1+,∴sinθcosθ=-1.故sin2θ=2(-1). 解法2(1/cosθ)-(1/sinθ)=1sinθ-cosθ=sinθcosθ1-2(sinθ-cosθ)=1-2sinθcosθ=(sinθ-cosθ)2,即(sinθ-cosθ)2+2(sinθ-cosθ)-1=0. 解得sinθ-cosθ=-1±. 又因 |sinθ-cosθ|=|sinθcosθ|≤1, ∴s
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