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1、§3-5反三角函數的基本概念(甲)反函數的概念x2xfg(1)反函數的定義：函數f(x)、g(y)，設x,y分別是f(x)、g(y)定義域內任意元素，如果g(f(x))=x且f(g(y))=y則稱f(x)與g(y)互為反函數，f(x)的反函數記為f-1(x)，即g(x)=f-1(x)。此時f(x)、g(x)的定義域與值域互換，即f(x)的定義域為f-1(x)的值域，f(x)的值域為f-1(x)的定義域。例一：設f(x)=2x，定義域=R，值域={y
2、y³0}，我們來討論f(x)的反函數g(y)，因為24，0.520.5，，x所以4
3、2，20.5，，2xx由對數的定義可知g(y)=log2y，定義域={y
4、y³0}，值域=R例二：設f(x)=x2，定義域=R，值域={y
5、y³0}，觀察它的對應情形11,-11，24,-24，±39，±xx2，當我們求它的反函數時，會遭遇到一個問題，到底x2要對應回去x或是-x呢？因為f(x)=x2是一個2對1的函數，因此反函數定義時會遭遇到1對2無法形成函數，這個情形與(1)的情形不同，f(x)=2x是一個1對1的函數，故直接對應回來就能定義反函數；而f(x)=x2是一個2對1的函數，我們要定義反函數時，就要採取彈性的方法，所
6、謂彈性的方法就是限制原函數的定義域，使得原函數在限制下的定義域是一個1對1的函數。當定義域限制成{x
7、x³0}時，可定義反函數f-1(y)=，當定義域限制成{x
8、x£0}時，可定義反函數f-1(y)=-。例三：處理三角函數的情形，與處理f(x)=x2的情形類似，考慮f(x)=sinx，因為+2kp它是一個多對1的函數，所以要處理正弦函數的反函數問題時，要將定義域做適當的限制，其它的5個三角函數也是用同樣的方法來處理。~3-5-11~(乙)反正弦函數(1)反正弦sin-1a的定義：對於每一個實數aÎ[-1,1]，在區間[,]內，都恰
9、有一個實數x，使得sinx=a。這個唯一的實數x，就記為sin-1a(有時也記為arcsina)，讀做arcsinea。例如：因為在[,]內只有使得sin=，所以sin-1=。因為在[,]內只有使得sin=，所以sin-1()=。注意：(a)sin=，為什麼sin-1¹呢？(b)sin-1有意義嗎？為什麼？a01----1sin-1a結論：sin-1a=qÛaÎ[-1,1]，qÎ[,]且sinq=x(2)反正弦函數：由y=sinx的圖形可知定義域限制在[,]內時，y=sinx為一個1-1函數。(a)定義反正弦函數：根據sin-1x
10、的定義，可知我們限制y=sinx的定義域到[,]，此時y=sinx為1對1的函數，因此可以定義反正弦函數y=f(x)=sin-1x，可知定義域={x
11、-1£x£1}，值域={y
12、£y£}。(b)反正弦函數的圖形：對於aÎ[,]，點(a,b)在y=sinx,的圖形上~3-5-11~Û點(b,a)在y=sin-1x的圖形上。所以y=sinx，xÎ[,]與y=sin-1x的圖形對稱於直線y=x。(3)反正弦函數的性質：性質1：y=sin-1x圖形對稱原點，為奇函數。sin-1(-x)=-sin-1(x)，-1£x£1性質2：若-1£x£
13、1，則sin(sin-1x)=x。性質3：若£x£，則sin-1(sinx)=x。性質4：若xÎR，則sin-1(sinx)¹x，例sin-1(sin)=sin-1()=¹。[例題1]求下列各式的值：(1)sin-1(sin)(2)sin-1sin(3)sin-1sin1(4)sin-1sin2Ans：(1)(2)-(3)1(4)p-2[例題2]求下列各式的值：(1)sinsin-1(2)sinsin-1()(3)sinsin-11(4)sinsin-12Ans：(1)(2)(3)1(4)無意義(練習1)求下列各小題的值：(1)s
14、in-11=？(2)sin-1[利用三角函數值表](3)sin-1=？(4)sin-1(cos)=？(5)sin(sin-1)=？(6)sin-1(sin10)(7)sin-1sinAns：(1)(2)約0.41弧度(3)無意義(4)(5)(6)3p-10(7)~3-5-11~(練習1)在△ABC中，若=2,=6,ÐB=135°,求ÐA。Ans：ÐA=sin-1(丙)反餘弦函數(1)反餘弦cos-1a的定義：對於每一個a，-1£a£1，在區間{x
15、0£x£p}上都恰有一個實數x使得cosx=a這個唯一的實數x，就記為cos-1a(
16、有時也記做arccosa)，讀做arccosinea。例如：因為0££p，cos=，所以cos-1=。因為0££p，cos=，所以cos-1()=。注意：(1)cos=，為何cos-1¹呢？(2)cos-1是否有意義？a01----1cos-1as
