高考数学专题复习讲练测——专题八 直线与二次曲线 专题复习讲练 6 解析几何的综合问题

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1、§6解析几何的综合问题　　一、复习要点1本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合．重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用．难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化，沟通它们之间的联系．　　2在本节的复习中，应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用．解答解析几何综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答．要重视函数与方程的思想

2、、等价转化思想的运用．　　3有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数等知识为一体，综合性强．解答此类问题一般有两种方法：①代数法．即就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围．②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解．　　4由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力，因而解析几何的综合问

3、题已成为上海及全国近年来高考命题的热点，常作为高考数学的把关题．　　二、例题讲解　　例1　如图8-18，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）（ｐ＞0），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边．图8-18　　（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；　　（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥ＯＲ，求p关于ｍ的函数ｆ（ｍ）的表达式；　　（3）在（2）的条件下，若ｍ变化，使得原点O到直线QR的距离不大于（／2），求ｐ的取值范围．　　讲解：（1）欲证直线与抛物线总有两个交点，须证对满足题设条件的ｍ、ｐ

4、的值，直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解．由ｙ２＝ｐ（ｘ＋1），消去ｙ，得ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0，ｘ＋ｙ＝ｍ，　　Δ＝ｐ（4ｍ＋ｐ＋4）．　　Δ的表达式中含有两个参数ｐ、ｍ，欲知它大于0是否成立，须寻找它们之间的联系．∵　抛物线的准线方程是ｘ＝－1－（ｐ／4），直线与ｘ轴的交点是（ｍ，0），据题意ｍ＞－1－（ｐ／4），即4ｍ＋ｐ＋4＞0.又已知ｐ＞0，∴　Δ＞0成立．故直线与抛物线总有两个交点．　　（2）若设Q、R点的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２）

5、，由（1）的证明知ｘ１、ｘ２是方程ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝2ｍ＋ｐ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－ｐ．欲求ｐ与ｍ的函数关系ｐ＝ｆ（ｍ），须寻求ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２与ｍ或ｐ的关系，这可由题设条件Q、R在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上及ＯＱ⊥ＯR得到．　　∵　ＯＱ⊥ＯＲ，∴　ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．　　又∵　Ｑ、Ｒ均在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上，　　∴　ｙ１ｙ２＝（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｍ＋ｍ２，　　∴　2ｘ１ｘ２－ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２＝0，　　∴　2（ｍ２－

6、ｐ）－ｍ（2ｍ＋ｐ）＋ｍ２＝0．　　解得　ｐ＝ｍ２／（ｍ＋2）．由ｐ＞0，得ｍ＞－2且ｍ≠0．4ｍ＋4＋ｐ＞0，　　故ｐ关于ｍ的函数ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0）．　　（3）由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0），求ｐ的取值范围，即就是求函数ｆ（ｍ）在由给定条件所确定的定义域内的值域．故须从定义域入手．　　解法1．由题设条件有（｜0＋0－ｍ｜）／≤（／2），　　∴　｜ｍ｜≤1.　　又由（2）知ｍ＞－2且ｍ≠0，　　∴　ｍ∈［－1，0）∪（0，1］．　

7、　当ｍ∈［－1，0）时，根据函数单调性的定义，可证ｆ（ｍ）　　在［－1，0）上为减函数，　　∴　当ｍ∈［－1，0）时，ｆ（0）＜ｆ（ｍ）＜ｆ（－1），　　即ｐ∈（0，1］；　　当ｍ∈（0，1］时，可证ｆ（ｍ）为增函数，从而ｐ∈（0，（1／33）3〗］．　　解法2．同解法1，得ｍ∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）＝（1／（1／ｍ）＋（2／ｍ２））.设ｔ＝（1／ｍ），ｇ（ｔ）＝ｔ＋2ｔ２，ｔ∈（－∞，－1］∪［1，＋∞），又ｇ（ｔ）＝2（ｔ＋（1／4））２－（

8、1／8），∴　当ｔ∈（－∞，－1］时，ｇ（ｔ）为减函数，　　∴　ｇ（ｔ）∈［1，＋∞）；当ｔ∈［1，＋∞）时，ｇ（ｔ）为增函数，∴ｇ（ｔ）∈［3，＋∞）．　　∵　ｐ＝ｆ（ｍ）＝（1／ｇ（ｔ）），　　故当ｍ∈［－1，0）时，ｐ∈（0，1］；　　当ｍ∈（0，1］时，ｐ∈（0，（1／3）］．　　本题是解析几何与函数、不等式的综合题．在（2）中，求出函数解析式后注意不要忘记定义域的确定；在（3）中，解法1须证明函数ｆ（ｍ）在各区间上的单调性；解法2通过换元，将问题转化为二次函数的问题，利用二次函数