高考数学专题复习讲练测——专题七 直线与平面 专题复习讲练 4 正方体、四面体

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1、§4正方体、四面体　　一、复习要点　　1．正方体有6个表面、8个顶点、12条棱、12条面对角线、4条体对角线、6个对角面；正方体既有外接球又有内切球；在正方体内可构造出别的多面体．以正方体为依托，可考查各种线线、线面、面面关系以及面积、体积等．这已成为命题的一个热点．　2．四面体是最简单的多面体，是很重要的几何模型．它集角度、距离、面积、体积等于一身；复杂的多面体总可以分割为若干个四面体，对四面体添加某些条件进行考查是命题的又一个热点．　3．等腰四面体（对棱相等的四面体），直角四面体、正三棱锥、正四面体等都是很重要的四面体．

2、另外，等腰四面体可置于长方体之中，正四面体可置于正方体之中．　　二、例题讲解　　例1　一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：①三角形；②菱形；③长方形；④正方形；⑤正六边形．其中正确的结论是___________．（把你认为正确的都填上）　　讲解：首先，应明确正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．这一结论的推出确实是有困难的，但我们可以大胆猜想这一事实的存在性．事实上，只要我们掌握了“以退求进”的解题方法，便可通过退化来分析，即退化成：

3、将正方形分成面积相等的两部分的直线必过其中心．于是可类比猜想把正方体分成体积相等的两部分的截面必过其中心；其次在研究方法上可作转换处理，即所求水面形状问题就是过正方体中心作截面的问题，如何作截面呢?理论依据就是公理3及其三个推论（当然在作截面的过程中要用到公理1和公理2）．已知正方体的中心，只需再找与中心不共线的两点即可．所找两点可为正方体八个顶点中的某两个点；或正方体一顶点及一边上的任意点；或相邻两边上的两点；或相对两边上任意两点．于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，如图7-28（1）；过正方体一面上一边的中点

4、和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图7-28（2）；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，如图7-28（3）；过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图7-28（4）．（1）水面为长方形（2）水面为菱形（3）水面为正六边形（4）水面为正方形图7-28　　本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．　　请读者深入思考：将原题改为“恰好盛有该容器

5、容积的（1／3）水”，又有何结果呢?　　例2　四面体ABCD中，△ABC为正三角形，AD⊥平面ABC，H是A在平面DBC内的射影．　　（1）试问：H是否可能为△DBC的垂心?并加以证明；　（2）若H是△DBC的重心，且AB＝2，试求平面DBC与平面ABC的夹角和A到平面DBC的距离．讲解：（1）这是一个探索性问题，一般来说先肯定命题，如果推出矛盾，则问题解决，如果推不出矛盾则加以证明，得到答案．图7-29如图7-29，假设H是△DBC的垂心，则BH⊥DC.由三垂线定理可得AB⊥CD.又DA⊥面ABC，∴AD⊥AB.又AD∩

6、CD＝D，∴AB⊥面ACD，∴AB⊥AC.这与∠BAC＝60°矛盾，∴H不可能是△DBC的垂心．（2）要求二面角的大小，先找平面角.∵H为重心，延长DH交BC于E，则E为BC的中点.又△ABC为正三角形，∴AE⊥BC.由三垂线定理知DH⊥BC，∴∠DEA为所求二面角的平面角．∵H为△DBC的重心，∴DH＝2ＨＥ，而AH是直角△DAE的斜边上的高．∴tg2∠AED＝（ＡＤ２／ＡＥ２）＝（ＤＨ·ＤＥ）／（ＨＥ·ＤＥ）＝（ＤＨ／ＨＥ）＝2，∴tg∠AED＝，∴∠AED＝arctg.当AB＝2时，AE＝，AD＝，DE＝3

7、，∴HE＝1，∴AH＝．即A点到平面DBC的距离为．例3四面体P-ABC中，棱PA＝ＢＣ＝a,PB=AC=b,PC=AB=c.试求四面体P-ABC的体积．图7-30讲解：直接求VP-ABC有一定的难度．不妨用补形的方法，通过“添加”把四面体P-ABC补成一个新的几何体，而这个新的几何体的体积应该是易求的．　　如图7-30，对四面体P-ABC进行“补形”，使其各棱分别为长方体ADBE-FPGC的面对角线．　　设长方体的棱长AD＝x,BD=y,DP=z，则有x２+y２＝c２,y２＋z２＝b２，z２+x２=a２.解得x２＝（c２

8、+a２-b２）／2,y２=（b２+c２-a２）／2,z２=（a２+b２-c２）／2）.　　∵ＶP-ABD=VA-PCF=VB-PCG=VC-ABE,∴VP-ABC=V长方体AG-4VＰ-ＡＢＤ＝xyz-4·（1／3）·（1／2）·