高考数学专题复习讲练测——专题七 直线与平面 专题复习讲练 1 异面直线

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1、§1　异面直线　　一、复习要点　　1．本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离．　　2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．　　3．要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．　　4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性．　　5．对异面直线所成的角，要注意：　　①深刻理解异面直线所成的角的概念，领

2、悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；　　②异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；　　③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；　　④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；　　⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．　　6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．　　二、例题讲解　　例1　已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那

3、么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．　讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．　构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1　　因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记

4、Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．　综上可知ｃ与ｄ平行或异面．　正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．　下面一组题目供读者思考练习：　　（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（　）．　　A．两条平行直线　　B．两条相交直线　　C．一条直线和直线外一点　　D．两个点　　（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则

5、M与N的关系是（　　）．　　A．M=NB．MN　　C．MND．不确定　　（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（　　）．　　A．若a∥b,b∥c，则a∥c　　B．若a⊥b,b⊥c,则a⊥c　　C．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交　　D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面　　（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（　　）．　　A．异面直线　　B．相交直线　　C．平行直线　　D．垂直直线　　（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直

6、线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF和BＤ１的关系是（　　）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直　　例2　在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（　　）．Ａ．60°　　Ｂ．90°　　Ｃ．105°　　Ｄ．75°　讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1

7、．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝

8、ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵　ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴　ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵　ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴　∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射