第四章 离散事件系统仿真方法1

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1、第四章矩阵的对角化矩阵的特征值、特征向量和方阵的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分,它们不仅在数学的各个分支有着重要的应用,而且在其他学科、工程技术以及数量经济分析等领域有着极其广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵的相似对角化问题,并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1矩阵的特征值与特征向量工程技术中的振动问题和稳定性问题,往往可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题.特征值和特征向量的概念不仅在理论上很重要,而且也可直接用来解决实际问题.一、特征值和特征向量的基本概念先看一个例子设取可验证这说明矩

2、阵作用在向量上变成了常数倍.我们把具有这种性质的非零向量称为矩阵的特征向量,数4称为对应于的特征值.对于一般的阶矩阵,引入如下概念：定义1.1设是阶矩阵,如果存在数和维非零向量使得则称数为矩阵的特征值,是的属于（或对应于）特征值的特征向量.根据定义,阶矩阵的特征值,就是使齐次线性方程组有非零解的的值,即满足方程的都是矩阵的特征值.在复数域上次方程有个根（重根按重数计算）,因此阶矩阵在复数域上有个特征值.方阵的对应于特征值的特征向量就是齐次线性方程组的非零解.定义1.2设阶矩阵则称为矩阵的特征多项式,称为的特征矩阵,称为的特征方程.根据

3、上述定义,求阶的特征值与特征向量的求法可按如下步骤进行：（1）由求出矩阵的全部特征值其中的重根,对应的个数值相同的特征值.（2）对于的每一个特征值求解齐次线性方程组设它的一个基础解系为（其中,则的属于的全部特征向量为其中是不全为零的任意实数.例1.1求的特征值和特征向量.解的特征多项式为故的特征值为．对特征值,解方程,由求得基础解系为故是对应于的全部特征值向量．对特征值,解方程,由求得基础解系所以是对应于的全部特征向量．例1.2设,求的特征值和特征向量.解的特征多项式为,所以的特征值为对特征值,解方程,即得其基础解系为故对应于的全部特

4、征向量为不同时为.对特征值,解方程,即得其基础解系为故对应于的全部特征向量为.例1.3求阶数量矩阵的特征值和特征向量.解故的特征值为把代入得这个方程组的系数矩阵是零矩阵,所以任意个线性无关的向量都是它的基础解系,取单位向量组作为基础解系,于是的全部特征向量为(不全为).注特征方程与特征方程有相同的特征根,的对应于特征值的特征向量是齐次线性方程组的非零解,也是的非零解.因此,在实际计算特征值和特征向量时,以上两种形式均可采用.二、特征值与特征向量的性质性质1.1设为阶矩阵,则与有相同的特征值.证明因为所以与有相同的特征多项式,故它们的特

5、征值相同.性质1.2设阶方阵的个特征值为则（1）（2）其中的主对角线的元素之和称为矩阵的迹,记为证明由行列式的定义可知其中一项是主对角线个元素的乘积,而省略的各项至多含有个主对角线上的元素,因此特征多项式中含与的项只能在主对角线元素乘积项中出现,显然的系数为1,的系数为又因为,在特征多项式中令可得其常数项为故另一方面,由于是的个特征值,所以在上述两式中,比较的系数和常数项,可得和推论阶方阵可逆的充要条件是的个特征值都不为零.例1.4设阶方阵满足等式,证明的特征值为1或0.证明设为的特征值,则存在非零向量,使因此由题设知即因为.所以,即

6、或例1.5设是方阵的特征值,为对应于特征值的特征向量,证明（1）是的特征值（为任意常数）；（2）对正整数是的特征值（为正整数）；（3）若A是可逆的,则是的特征值.证明由题意,对向量有（1）因为所以是的特征值.（2）由知是的特征值.（3）当可逆时,由推论可知,用左乘两边,得即所以是的特征值.用例1.5的方法,读者可自证：若是方阵的特征值,是矩阵多项式,即,则矩阵有特征值例1.6设三阶方阵的三个特征值分别为2,3,7,求行列式.解当是的特征值,可知,（）为的特征值,即有特征值,,所以由性质1.2知定理1.1设是矩阵的个不同的特征值,是的分

7、别属于的特征向量,则线性无关.证明用数学归纳法对特征向量个数进行归纳证明.当时,由于因此线性无关.假设对个互异的特征值定理成立,即线性无关.对向量组,设有数使（4.1）两端左乘并利用条件得(4.2)将·（4.1）－（4.2）,得由归纳假设,线性无关,因此又从而代入（4.1）,得从而线性无关.推论如果阶方阵有个不同的特征值,则有个线性无关的特征向量.类似地可以证明：定理1.2设是矩阵的个互不相同的特征值,是的属于特征值的线性无关的特征向量,则向量组线性无关定理1.3设是阶方阵的一个重特征值,则对应的线性无关的特征向量至多有个.习题4.1

8、1．求矩阵的特征值与特征向量.2.已知方阵满足试确定的特征值的可能取值.3.设是三阶矩阵,它的特征值是-1,0,4,又知求的特征值.4.设矩阵（1）求的特征值.（2）求矩阵的特征值.5.设矩阵有三个线性无关的特征向量,求