3.3 勾股定理的简单应用

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1、数学教学设计教　　材：义务教育教科书·数学（八年级上册）3.3　勾股定理的简单应用教学目标1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．2．构造直角三角形及正确解出此类方程．3．运用勾股定理解释生活中的实际问题．教学重点能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．教学难点在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．要善于运用直角三角形三边关系，关键是根据实际情形准确构造出直角三角形．教学过

2、程（教师）学生活动设计思路开场白同学们，前一阶段我们学习了勾股定理，勾股定理在数学研究中具有极其重要的地位，数学大师华罗庚曾经说过：把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流！咱们今天就来继续体验勾股定理在数学中的应用．投影：把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流！——华罗庚进入状态，兴致盎然．给学生展现一个美妙的前景，激发学生学习数学的欲望．交流从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形．已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的长？思考，讨论并交流线段的长的计算．巩固复习勾股定理．

3、（图1）今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？解：如图，我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB来表示竹梢触地处离竹根的距离．AOBX(10－X)3（图2）设OA＝x，则AB＝10－x，∵∠AOB＝90°，∴OA2＋OB2＝AB2，∴x2＋32＝（10－x）2，∴OA＝x＝（尺），答：竹子折断处离地面有尺．进一步加深理解勾股定理．“引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题“今有

4、池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解：如图BC为芦苇长，AB为水深，AC为池中心点距岸边的距离．设AB＝x尺，则BC＝（x＋1）尺，根据勾股定理得：x2＋52＝（x＋1）2，解得：x＝12，所以芦苇长为12＋1＝13（尺），答：水深为12尺，芦苇长为13尺．ACB（图3）巩固练习．观察下面

5、几幅图像，同学之间议一议：勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？积极思考，回答问题．勾股定理主要应用于求线段的长度、图形的周长、面积；勾股定理的逆定理用于判断三角形的形状．由学生熟悉的情景入手，给学生一个展示才华的机会，增强学生学习数学的兴趣．实践探索一例1　如图4，等边三角形ABC的边长是6，求△ABC的面积．ACBD（图4）练习：1．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，求△ABC的面积2．如图6，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝15，AD＝12，AC＝13，求△ABC的周长和面积．ACBD（图5））

6、7ACBD（图6）互相讨论，踊跃回答：参考答案：解：作AD⊥BC，∵△ABC是等边三角形，∴BD＝BC＝×6＝3，在Rt△ABC中，AD＝＝＝≈5.196，S△ABC＝BC·AD≈×6×5.196＝15.58≈15.6．通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生

7、合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面．实践探索二1．思考：如图7，在△ABC中，AB＝25，BC＝7，AC＝24，问△ABC是什么三角形？ACB（图7）2．例：如图8，在△ABC中，AB＝26，BC＝20，BC边上的中线AD＝24，求AC．DACB（图8）3．如图9，在△ABC中，AB＝15，AD＝12，BD＝9，AC＝13，求△ABC的周长和面积．DACB（图9）小组讨论，代表回答：1．由勾股定理逆定理可以发现△ABC是直角三角形．2．解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝×20＝10．∵AD2＋

8、BD2＝576＋100＝676，AB2＝262＝676，　∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，AD垂直平分BC．∴AC＝AB＝26．通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．总结从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系，把研究等腰三角形转化为研究直角