数学【专题十】化归思想

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1、专题十数学【专题十】化归思想【考情分析】化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.【知识交汇】化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。从而求得原问题的解决。化归思想不同

2、于一般所讲的“转化”或“变换”。它的基本形式有：①化未知为已知；②化难为易，化繁为简；③化高维为低维；④化抽象为具体；⑤化非规范性问题为规范性问题；⑥化数为形，化形为数；；⑦化曲为直；⑧化实际问题为数学问题；⑨化综合为单一；⑩化一般为特殊等。匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶

3、放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。化归思想是指问题之间的相互转化。前苏联著名数学家C.A.雅诺夫斯卡娅，有一次向奥林匹克竞赛参加者发表了《什么叫解题》的演讲，她的答案显得惊人地简单，完全出乎人的意料

4、：“解题就是把题归结为已经解决过的问题”，这句话实际上就是体现了化归思想。因此化归的常用模式为问题A问题B问题A的解答问题B的解答转化对象目标解答【思想方法】一、将未知的问题转化归结为已知的知识【例1】设若方程中的cosx有两个不同的符号,求实数k的取值范围。【分析】令cosx=t,,则由得方程中的cosx有两个不同的符号，等价于关于t的方程(1)在有异号两根,设5专题十数学,则原问题又等价于,由此可得【评注】将未知的问题向已知的知识转化，并使未知和已知的知识发生联系，使之能用熟悉的知识和方法解决新的问题。这种

5、转化经常可达到事半功倍的效果。例如要求空间两条异面直线所成的角，只须通过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角。又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化为熟悉的二次函数最值问题，再如还可以用三角法解决几何量的最值问题等等。二、数形之间的转化【例3】讨论方程的实数解的个数.分析:此题若从代数的角度去解恐怕是无从下手,我们不妨利用数形结合来考虑看会怎么样？此题可转化为求函数图象与函数图象的交点个数的问题.解:作出函数的图象,如右图所示,函数为水平直线,由图形可知:当时,解的个数是;当或时,解的个数是

6、;当时,解的个数是;当时,解的个数为3;【评注】注意数形的相互转化，使数形达到和谐的统一，以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵，便于发现和解决实质问题。某些代数问题、三角问题，往往潜在着几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系几何直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。三、特殊与一般的相互转化在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_____．解析：这里顶点是椭圆上的动点，所以、、不易确定。但根据“一般成立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化化归为点在特殊位置（椭圆

7、短轴端点）来处理较易。当然：注意到A、C是两焦点，利用正弦定理，进行数形转化也能取得很好的效果.答案：顶点取椭圆短轴端点，即，则，，，点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用。5专题十数学【评注】对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。四、正与反的相互转化若下列方程：，，=0中至少有一个方程有实根.试求实数a的取值范围.分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况有一种：三个方程均没有实数.先

8、求出反面情况时a的范围，取所得范围的补集就是正面情况的答案.解：设三个方程均无实根，则有解得所以当时，三个方程至少有一个方程有实根.【评注】对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。五、实际问题向数学问题的转化归结【例6】某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不