数学思想技巧之化归思想探讨备战高考数学专题座

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1、【备战2014高考数学专题讲座】系列由江苏泰州锦元数学工作室精心编辑，在对全国2013年高考数学解析的基础上分若干专题对基本解题方法进行归纳探讨。讲座分四个单元28讲：第一单元：客观性试题解法探讨（2讲），第二单元：数学思想方法探讨（6讲），第三单元：数学解题方法探讨（4讲），第四单元：高频考点分析（16讲）。数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。化归是一种重要的解题思想，也是一

2、种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。“化归”是转化和归结的简称。数学问题的解决过程就是一系列化归的过程，中学数学处处都体现出化归的思想，在数学问题的解决过程中，常用的很多数学方法实质就是化归的方法。化归思想是指在解决问题的过程中，有意识地对所研究的问题从一种对象在一定条件下转化为另一对象的思维方式。通常有从未知——已知；复杂——简单；抽象——具体；一般——特殊；综合——单一；高维——低维；多元——一元；困难——容易，以及数学表现形式之间的转化、将实际问题转化为数学问题等。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解

3、决的问题进行变换转化，使问题得以解决。体现上述化归思想的有：换元法（如利用“换元”将无理式化为有理式，高次问题化为低次问题）、待定系数法（通过引入参数，转化问题的形式，便于问题的解决）、建模法（构造数学模型，把实际问题转化为数学问题）、坐标法（建立直角坐标系，实现“数”、“形”的对应、转化）、数形结合法（通过数形互补、互换获得问题的解题思路）、特殊元素法（将一般问题特殊化，从特殊问题的解决中解决一般问题）、等价命题法（通过原命题的等价命题运用或证明，达到解决问题的目的）、反证法（肯定题设而否定结论，从而得出矛盾）等等。化归的基本思想是：将待解决的问题A，在一定条件下转化为问题B，再把

4、问题B75/75转化为已经解决或较易解决的问题C，而通过对C的解决，达到原问题的解决，可用框图表示如下：化归应遵循的原则：（1）化归目标的简单化原则，即化归的方面是由复杂到简单，对复杂总是采用分解或变更的方法，使目标简单化。（2）化归的熟悉化原则，即化归的方向是由不熟悉到熟悉，把要解决的（不熟悉）问题转化为自己熟悉会解的问题，使所要解决的问题熟悉化。（3）化归的具体化原则，即化归的方向一般是由抽象到具体。在分析问题时，尽力将问题具体化。（4）化归的和谐化原则，即化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符

5、合人们的思维规律。（5）化归的正难则反原则，即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。结合2013年全国各地高考的实例，我们从下面七方面探讨化归思想的应用（其它方面另有专题详细探讨）：（1）从高维到低维的化归；（2）一般与特殊的相互转化；（3）函数与方程的相互转化；（4）相等（函数）与不等的相互转化；（5）数与形的相互转化；（6）参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化；（7）数学各分支之间的相互转化。一、从高维到低维的化归：在数学解题中，对立体几何问题（三维）常常需要化归到熟知的平面几何问题（二维），化归的手段主要有平移、旋转、展开、射影和截

6、面等；对于高次方程或不等式常常需要化归到熟知的一次方程或不等式的求解，化归的手段是降次。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2013年安徽省理5分）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是▲（写出所有正确命题的编号）。①当0

7、得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，∴C1R=。故正确。④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误。75/75⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF=•故正确。综上所述，命题正确的是①②③⑤。例2.（2013年安徽省文12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠B