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1、贵州师范大学数学与计算机科学院2006-2007年度第二学期期末考试试卷(A)考试科目名称：近世代数;班级：2004级本科数学专业。注：本试题共三个大题，16个小题。满分100分。一、选择题（每小题有4个备选项，仅一项正确的可选。每小题3分，共15分）1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n,则可以用圆规直尺作图作出的条件是()。(A)n是2的方幂；(B)n是素数；(C)n是素数的方幂；(D)n>2。2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是()。(A)H中的元素；(B)GH中的元素；(C)G关于H的
2、所有右陪集；(D)H的所有共轭g-1Hg。3、设是环同态,则同态的核()。(A)Ker(j)={aÎS:$bÎR,j(b)=a}；(B)Ker(j)={aÎR:j(a)=a}；(C)Ker(j)={aÎR:j(a)=1}；(D)Ker(j)={aÎR:j(a)=0}。4、下列数中，能用圆规直尺来作出的是()。(A)；(B)；(C)p2；(D)。5、设I是交换环R的理想,
3、R
4、=81,
5、I
6、=3,下列结论中正确的是()。(A)R一定是特征为3的域;(B)商环R/I中有27个元素;(C)R可能是域且I是R的子域，[R:I]=
7、3;(D)商环R/I一定是特征为3的域。二、简答题（每小题6分，共30分）6、剩余类环Z6是域吗？为什么？7、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？8、300阶群G有7阶元吗?为什么？9、x3-2是实数-1在有理域上的极小多项式吗？为什么？810、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。三、解答题11、(7分)把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积12、(8分)计算20072007(mod5)13、(10分)设f(x)=x4+x+1ÎZ2[x],(1)求Z2[x]中所有一次和二次
8、不可约多项式;(2)证明:f(x)在Z2[x]中不可约;14、(10分)设G是群,Z(G)={aÎG:"gÎG,ga=ag}是G的中心.证明:(1)Z(G)是G的正规子群;(2)如果商群是循环群,则G是交换群。15、(10分)证明：模n的剩余类环Zn的每个子加群都是理想。16、（10分）就你所知,《近世代数学》在科研工作和生产实践中都有哪些应用？.8贵州师范大学数学与计算机科学学院2006-2007年度第二学期期末考试试卷(B)考试科目名称：近世代数;班级：2004级本科数学专业。注：本试题共四个大题，18个小题。满分1
9、00分。一、(20分)回答下列问题：81、(4分)列出剩余类加群Z10的全部元素；2、(4分)写出加法群Z10的全部生成元、全部子群；3、(4分)写出剩余类环Z10的全部理想；（全部子群）4、(4分)写出剩余类环Z10的全部可逆元（生成元）、全部零因子、负元；5、(4分)Z10是域吗？说明理由。二、简答题（每小题6分，共30分）6、7阶群的子群共有多少个?为什么?7、除环的理想有多少个?为什么?8、商环Q[x]/(x2+x+1)是域吗?为什么?。9、设N是有限群G的正规子群,商群G/N与三次对称群S3同构,N≌Z11。说
10、明:22
11、
12、G
13、.10、有锐角的棱形的对称性群是几阶群?三、计算题（每小题6分，共30分）11、复数域C作为实数域R的扩域，求指数[C:R].12、计算20082008(mod7).13、把置换ρ=(41536)(3745)(2175)表示为不相交的轮换的乘积。14、如果域E的乘法子群E*=E{0}有一个13阶子群H,且[E*:H]=2,求
14、E
15、和域E的特征。15、求+1在有理数域Q上的极小多项式。四、证明题（三个小题，共20分）16、(6分)证明：有限域E的特征数p
16、
17、E
18、.17、(6分)设G=,
19、a
20、=n.证
21、明：G是单群当且仅当n是素数.18、(8分)设GLn(R)是实数域R上的一般线性群,SLn(R)={AÎGLn(R):
22、A
23、=1}.证明：(1)SLn(R)是GLn(R)的正规子群;(2)商群。试卷（A）参考答案一、（A）、（C）、（D）、（B）、（B）。二、简答题86、答：Z6不是域。因为6不是素数。（或：因为Z6中有零因子[2][3]=[0]；或：因为[2]没有逆元。）7、答：只有一个。因为，设I是R的任一理想，若单位元1ÎI，则"aÎR，由理想的吸收性，则a=a1ÎI，故必I=R。所以，R的含有单位元的理想只有一个
24、，就是R。8、答：没有。因为，假如G有7阶元，由Largrange定理，则7
25、
26、G
27、=300，矛盾。9、答：不是。因为实数-1不是x3-2的根。10、答：因为
28、F
29、=343=73，可知F的特征是7，因而Z7是F的素域。三、解答题11、解：(1365)(3457)(7215)=(17234)(56)12、解：2007≡
