抽象代数电子教案

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1、《抽象代数》课程教案《抽象代数》课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运

2、算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n的剩余类。教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类。教学措施：黑板板书与口授教学法。教学时数：12学时。教学过程：§1集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的每个事物叫做这个集合的元

3、素（简称元）。定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为，且是任一集合的子集。（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A，B，C…表示集合，习惯上用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素。若a是集合A中的元素，则记为。表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例：A=｛1，2，3，4｝，B=｛1，2，3，…，100｝。2、描述法：—元素具有的性质。例：。显然例6中的A就是例5的A。3、绘图法：用文氏图（62《抽象代数》课程教案）可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。（3）集合的蕴含（包含）定义：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为

4、，否则说B是A的子集，记为.定义：设，且存在，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B.结论：显然，.（4）集合的运算①集合的并：②集合的交：③集合的差：④集合在全集内的补：⑤集合的布尔和（对称差）：⑥集合的卡氏积：注：中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。卡氏积的推广：对上述集合运算，可以得到一批基本公式：例题：例1A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B={2}A={1.2.3}B={4.5.6}那么A∩B=空集合.例2A={1.2.3}B={2.4.6}那么A∪B={1.2.3.4.6}A={1

5、.2.3}B={4.5.6}那么A∪B={1.2.3.4.5.6}62《抽象代数》课程教案§2映射定义：设是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个的元，都能够得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做集合到集合D的一个映射。其中，元d是在映射的象，a是b在下的逆象。例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合.φ：（a1,a2,……,an）→a12+a22+……+an2=φ(a1,a2,…,an)是一个A1×A2×…×AN到D的映射.例2：A1={东,西},A2={南}，D={高,低}φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A1×A2到D的映射.φ2:(西,南）→高，（东,

6、南）→低，则φ2是一个A1×A2到D的映射.例3：A1=D=所有实数所成的集合.φ：a→a若a≠11→b这里b2=1不是一个A1到D的映射.例4：A1=D=所有实数所成的集合.φ：a→a-1不是一个A1到D的映射.定义：我们说，到集合D的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任何一个元来说，φ1=φ2。例5：A=D=所有正整数的集合.φ1：a→1=φ1（a）φ2:a→=φ2（a）则φ1与φ2是相同的.62《抽象代数》课程教案§3代数运算设给定，如果n=2时，f就叫做代数运算。一般地有定义：任一个的映射都叫做的一个代数运算。例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}。D={所有有理数}

7、0：（a.b）=ab是一个A×B到D的代数运算，即普通的除法.例2：令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量空间的乘法是一个F×V到V的代数运算.例3：A={1},B={2},D={奇，偶}0：（1.2）→奇=12是一个A×B到D的代数运算.例4A={1.2},B={1.2},D={奇，偶}0：（1.1）→奇（2.2）→奇（1.2）→奇（2.1）→偶是一个A×B到D的代数运算.代数运算表：当都是有限集时，那么的每一个代数运算