导学案022简单的三角恒等变换

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1、济宁学院附高中高三数学第一轮复习导学案编号021班级：高三（）姓名：简单的三角恒等变换考纲要求：能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.考情分析：1.利用公式变换，进行三角函数式的化简是本节考查的热点．2.常与实际应用问题、函数等结合命题．3.主要以解答题的形式进行考查.教学过程：基础梳理：半角公式(不要求记忆)1.用cosα表示sin2，cos2，tan2sin2＝；cos2＝；tan2＝2．用sinα，cosα表示tan.tan＝＝双基自测1．(教材习题改编)已知cosα＝，α∈(π，2π)，则cos等于

2、(　　)A.　　　　　B．－C.D．－2．已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f等于(　　)A.B．－C.D．－3．已知tanα＝，则等于(　　)A．3B．6C．12D.4．(2011·大纲全国卷)已知α∈，sinα＝，则tan2α＝________.济宁学院附高中高三数学第一轮复习导学案编号021班级：高三（）姓名：5．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝__________.关键点点拨：三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、

3、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典例分析考点一：三角函数式的化简[例1]　(2010·上海高考)已知0

4、角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等.考点二：三角函数式的求值（角）济宁学院附高中高三数学第一轮复习导学案编号021班级：高三（）姓名：[例2]　(2011·重庆高考)已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．解：依题意得sinα－cosα＝，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，即(sinα

5、＋cosα)2＋2＝2，故(sinα＋cosα)2＝；又α∈，因此有sinα＋cosα＝，所以＝＝－(sinα＋cosα)＝－变式3．(2012·嘉兴调研)计算－4cos10°＝________.变式4．(2012·湖州一中模拟)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，(1)求tan2α的值；(2)求β.变式5．(2012·潍坊模拟)如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为.(1)求的值；(2)若·＝0，求sin(α＋济宁学院附高中高三数学第一轮复习导学案编号021班级：高三（）姓名：β

6、)．三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.考点三：三角恒等变换的综合应用[例3]　(2011·四川高考)已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小

7、值；(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.变式6.在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合．考题范例(12分)(2011·重庆高考)设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2济宁学院附高中高三数学第一轮复习导学案编号021班级：高三（）姓名：满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值．解：f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x.(2分)由f＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝2.(3分)因此f(x)＝sin2x－cos2x＝2s

8、in.(5分)当x∈时，2x－∈，f(x)为增函数；