求数列极限的方法

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1、求数列极限的方法摘要极限论是数学分析的基础，它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的，在形式上数列极限是函数极限的特例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。关键词：极限、数列1、预备知识数列极限：设是一数列，如果存在常数，当n无限增大时，无限接近（或趋近）于，则称数列收敛，称为数列的极限，或称数列收敛于，记为=或：→，当n→∞。数列极限的ε-N定义

2、设{}是一个数列，事一个确定的数，若∀ε＞0，存在自然数N使得当n＞N时，就有│-│＜ε，则称数列收敛于，称为它的极限，记作=或→（n→∞）读作：“当n趋于无穷大时，的极限等于”或“当n趋于无穷大时，趋于”。lim为拉丁文limes一词的前三个字母，也有说成是英文limit一词的前三个字母的。若数列{}没有极限，则称这个数列不收敛或称它为发散数列。数列极限的性质：　　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；　　2.有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。　　3.保号性：如果一个数列{}收敛于a

3、，且a>0（或a<0)，那么存在正整数N，当n>N时，都有>0(或<0)。　　4.改变数列的有限项，不改变数列的极限。　　2．数列极限的方法探求2.1几个常用数列的极限：求解策略：熟记常见极限的结论，如（│q│<1）,2.2利用定积分求数列极限通项中含有n!的数列极限，由于n!的特殊性，直接求非常困难，而转化为定积分来求救相对容易了。例1求解：将提出，则原和式可改写为它可以看作是函数在区间上的积分和，所采用的是n等分区间，并且在每个小区间上均取右端函数值。因此例2求解：原式======注1把乘积转化为和的形式对函数是一个有利的工具。结论1若lnf(x)在上

4、可积，则2.3利用四则运算法则求数列极限若{}与{}为收敛数列，则{+}，{-}，{}也都是收敛数列，且有例:3求解：由，得==2.4利用重要极限求数列的极限两个重要极限分别为（1）（2）例4求解：=2.5利用两个准则求极限。　(1)夹逼准则：若一正整数,当时，有且则有.利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。例5：求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项则又因为（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推

5、公式求极限。例6证明下列数列的极限存在，并求极限。证明：从这个数列构造来看显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为所以得.因为前面证明是单调增加的。两端除以得因为则,从而即是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。令则则因为解方程得所以2.6几类特殊数列极限的求法（1）公式型若是等比数列，其前n项和为，公比q满足│q│<1，则例7若数列的通项是，则求解：则是等比数列，且其首项为，公比为;是等比数列，且其首项为，公比为。所以（2）分式型分子、分母同除以某代数式，使之符合极限的运算法则。若分子、分母事多项式，则分子、分母同除以n的最高次幂，然后利用（k>0）来求极

6、限；若分子、分母含指数式，则分子、分母同初除以底数的绝对值大的项，然后利用（│q│<1）来求极限。例8求解：，则原式=（3）无理式型一般是先有理化，然后利用极限的运算法则例9已知a、b为常数，且，求a、b的值解：==则解得a=,b=4（4）和型或积型对和型或积型，应先求和或求积，再求极限例10求的值解：原式==（5）递推型已知数列的递推式求数列的极限，一般对递推式两边取极限，利用构造方程求解；也可求出递推数列的通项公式后，再求极限。例11已知a>0，数列满足。若的极限存在且大于0，求A=（将A用a表示）。解：存在，且A=，A>0，对两边取极限，得，解得。又

7、A>0，则