求极限的方法57047

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1、求极限的方法http://www.wzumath.cn/article/2008/0120/article_55.html一.首先介绍两个基本且重要的极限例子，这两个例子以后可以作为公式用。　　定理1.12（重要极限例子）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证：当0<sin/>cos　　由偶函数性质，上面不等式对-/2<<0也成立。即有当0<∣∣

2、<1,　因，由两边夹法则则得要证的极限。　　定理1.13（第二个重要极限例子）　存在，记该极限数为e。　　证.　第一步，先证数列情形，即证存在，由单调有界原理，我们来证满足。　　　　（1）{n}单调递增。　　　　（2）{n}有上界。　　　　　由二项式展开知：　　　　　　　　　　　　　　　　　同理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　注意到上面两个表达式中依次各项前者小于后者，而n+1中还多了一项。　　　　　因此n

3、限为e。　　　　　第二步：证。作[1，+∞]上的阶梯函数：　　　　　　　　　　　　　　　n≤

4、：　　1．直接代入法　　2．变型法（包括利用两个重要的例子）　　3．换元法　　4．利用极限的性质法（如四则运算，两边夹法则，单调有界原理等）　　5．洛必达法则（求不定式极限）　　6．积分法　　以下将介绍前面4种方法，5，6种方法将在以后讨论。　　　1．直接代入法　　对于初等函数f()的极限，，若f()在0处的函数值f(0)存在。则这一结论的理论将在下一讲中讨论。我们现在只需掌握这种做法。　　直接代入法的本质就是只要将=0代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。　　例2.求极限　　（1）　　（2）　　　（3）　　解：（1）　　　　（2）　　　　

5、（3）　　2.变型法　　　　通俗地说代入后无意义的极限称为不定式，（如0/0,∞/∞,∞-∞等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。　　例3.求极限　　（1）　　（2）　　解：（1）　　　　　　　　　　　　（2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3.换元法　　　　通过换元将复杂的极限化为间单。　　　　例4.求极限，此时　　　　解：若　有　，令则　　　　　　　　　　　　　　　例5．求下列极限　　　(1).　　　(2).　　　(3).　　(4).　　　分析：该题的形式与两个重要极限类似，可通过换元化为重要极限。　　　解：(1)

6、.　　　　　(2).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3).　　　　　　　　　　　　　　=　　　　　　　(4).在具体解题时，换元的过程熟练后可不必写出。　　例6．求下列极限。　　(1).，　；（2）.　　　解：（1）因　　（）　故　　　　　　原极限=　　　　（2）因　　　故　　　　　　原极限=　　　　　　　　　==.　　　　4.极限的性质运用法　　　　运用一些关于极限的法则，如单调有界原理，两边夹法则，柯西收敛法则，在解决疑难极限的问题时可能是称之有效的方法。实际上在前面两个重要极限的证明中已用到两边夹法则，单调有界原理等，下面

7、再举一些例。　　例7．求极限　　解.记，则hn>０（n≥２）。且有　　　　　　　，　　　　这说明　　　　　　　　,　　　　即　　　　　　　　　　。　　　　因　　　　　　　　　　　　　　　由两边夹法则知　　　　　　　　从而　　　　　　　　　。　　　例8.证明数列　　　　　　　　　　　　　　　　　有极限，并求其极限。　　证：　令，易知｛｝递增，且我们用归纳法证明　≤２。　　　　　显然。若≤２　则。　　　　　故由单调有界原理｛｝收敛，设→，则在　　中两边取极限得　　　　　　　即　　　　　　解之得　=２　或　=-１　明显不合要求，舍去，　　　　　　　　从而