(第18讲)关于不等式证明的常用方法

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1、题目高中数学复习专题讲座关于不等式证明的常用方法高考要求不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力重难点归纳1不等式证明常用的方法有比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证(2)综合法是

2、由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野2不等式证明还有一些常用的方法换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟

3、悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点典型题例示范讲解例1证明不等式(n∈N*)命题意图本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力知识依托本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等错解分析此题易出现下列放缩错误这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的技巧与方法本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标而证法三运用函数思想，借助单调性，独具

4、匠心，发人深省证法一(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2，∴当n=k+1时，不等式成立综合(1)、(2)得当n∈N*时，都有1+＜2另从k到k+1时的证明还有下列证法证法二对任意k∈N*，都有证法三设f(n)=那么对任意k∈N*都有∴f(k+1)＞f(k)因此，对任意n∈N*都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，∴例2求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值命题意图本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力知识依托该题实质是

5、给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值错解分析本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜)，这样也得a≥sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的其原因是(1)缩小了x、y的范围(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的技巧与方法除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典

6、型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max若a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化解法一由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y)，①∴x，y＞0，∴x+y≥2，②当且仅当x=y时，②中有等号成立比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a=(因a＞0)，∴a的最小值是解法二设∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2(当x=y时“=”

7、成立)，∴≤1，的最大值是1从而可知，u的最大值为，又由已知，得a≥u，∴a的最小值为解法三∵y＞0，∴原不等式可化为+1≤a，设=tanθ，θ∈(0，)∴tanθ+1≤a即tanθ+1≤asecθ∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)，③又∵sin(θ+)的最大值为1(此时θ=)由③式可知a的最小值为例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求证(a+)(b+)≥证法一(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8∵a＞0，b＞0，a+b=1，

8、∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证证法二(均值代换法)设a=+t1，b=+t2∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，

9、t1

10、＜，

11、t2

12、＜显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立证法三(比较法）∵a+