高一数学必修4 向量复习讲义[整理]

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1、数学必修4平面向量复习（2010年4月）一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量3.平行向量：若非零向量方向相同或相反，则；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：模相等，方向相同；相反向量：模相等，方向相反5、两个非零向量、的夹角：做=；=；叫做与的夹角。6、坐标表示：、分别是与轴、轴同向的单位向量，若，则叫做的坐标。7.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：；加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。<2>三角形加法法则：首尾相连记：+=减

2、法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：-=数乘是一个向量，方向：时，与同向；时，与反向；时，数量积·=·=三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得。2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥四、基础训练（1）已知，且，则向量在向量上的投影为（2）已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.（3）非零向量和满足：，则与的夹角等于.五、典例讲解.例1.已知，，（1）证明：三点共线.（2）为何值时，①向量与平行②向量与垂直例2、平面内有向量，点Q为直

3、线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。例3.已知向量，，（1）若求的值。（2）求的最小值.（3）求函数=·的单调增区间六、巩固练习1．已知平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且=，x和的值分别为()A．-7，2B．5，2C．-7，D．5，2、向量，满足，，则的取值范围是．3、已知，，，则　　　　　．4、已知+，２－，则向量+2与2－（）A、一定共线B、一定不共线C、仅当与共线时共线D、仅当=时共线5、已知ABC顶点A（―1，），B（2，3）及重心坐标G（1，），则顶点C的坐标为__________6．已知O（0

4、，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是7、已知

5、

6、=

7、

8、，，且（+）（k-），则k的值是()A．1B．-1C．0D．-28、已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_____________________9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）,为一动点，及，（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。10、已知，，且与的夹角为（1）求，，（2）证明：与垂直11、已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）

9、（1）若

10、

11、=2，且‖，求的坐标（2）若

12、

13、=，且+2与2-垂直，求与的夹角.12、已知等边三角形的边长为2，⊙的半径为1，为⊙的任意一条直径，（Ⅰ）判断的值是否会随点的变化而变化，请说明理由；（Ⅱ）求的最大值．