常微分方程习题(16)new

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1、常微分方程期中考试试卷(5)计算题.求下列方程的通解或通积分1.2.3.4.5．6．7．证明题8.在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．9.设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为10.假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若<，，则在区间I上必有<成立．答案：1。解方程化为令，则，代入上式，得分量变量，积分，通解为原方程通解为2.解因为，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即3．解当时，分离变量得等式两端积分得方程的通积分为4．解齐次方程的通解为令非齐

2、次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+5．解积分因子为原方程的通积分为即6．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即7．解原方程是克来洛方程，通解为8．证明由已知条件可知，该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解．对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义．若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为．9.证明由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．显然是方程的两个常数解

3、．任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．10.证明仅证方向，（反之亦然）．假设存在，使得>（=不可能出现，否则与解惟一矛盾令=-，那么=-<0，=->0由连续函数介值定理，存在，使得=-=0即=这与解惟一矛盾．