常微分方程练习题(2)new

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1、《常微分方程》练习题(2)一、填空题1、形如的方程，称为变量分离方程，这里f(),()xyϕ分别为x,y的连续函数．2、形如的方程，称为伯努利方程，这里PxQx(),()为x的连续函数，n≠0,1是常数。引入变量变换，可化为一阶线性方程．3、如果存在常数L>0，使得不等式对于所有（x,),(,)yxyR∈都成12立，L称为利普希兹常数，函数f(x,y)称为在R上关于y满足利普希兹条件．4、形如的方程，称为欧拉方程，这里aa,,,?a是常12n数．5、设φ()t是x′=Ax的基解矩阵，ϕ()t是x′=A(t)x+f(t)的某一解，则它的任一

2、解γt)(可表为．二、计算题dyy21、求方程=−6xy的通解．dxxdyyxy2、求方程+=e的通解．dxx2t3、求方程x''+6x'+5x=e的隐式解．dy24、求方程=x+y通过点(0,0)的第三次近似解．dx三、证明题2⎡01⎤⎡⎤tt=⎢⎥⎡x1⎤1、试验证Φ=()t⎢⎥是方程组x'22x，x=⎢⎥在任何不包含原点的⎣⎦21t⎢−2⎥⎣x2⎦⎢⎣tt⎥⎦区间at≤≤b上的基解矩阵．2、设Φ()t为方程x'=Ax（A为nn×常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ=(0)E），−1证明:ΦΦ()ttt()=Φ−(t)，其中t为某一值．00

3、0《常微分方程》练习题（２）答卷一、填空题dydyn1−n1、=f(x)ϕ(y)2、=P(x)y+Q(x)yz=ydxdx3、f(x,y)−f(x,y)≤Ly−y1212nn−1ndyn−1dydy4、x+ax+?+ax+ay=0n1n−1n−1ndxdxdx5、γ()tt=+φϕ()Ct(),C为任意与φ()t同阶的方阵二、计算题−1dz−2dy1、解：这是n=2时的伯努利方程，令z=y,算得=−y．代入原方程得到dxdx2dz6cx=−z+x，这是线性方程，求得它的通解为z=+带回原来的变量y，得6dxxx82681cxxx到=+或者

4、−=c，这就是原方程的解．此外方程还有解y=0．6yx8y8xydyxyyxe−y2、解：=−=edxxxxyxdy=(xe−y)dxxyxdy+ydx=xedxxydxy=xedxdxy=xdxxye−xy12积分：−e=x+c212−xy故通解为：x+e+c=0223、解：齐线性方程x''+6x'+5x=0的特征方程为λ+6λ+5=0，解得λ=−,1λ=−5，12−t−5t2t故通解为x(t)=ce+ce．λ=2不是特征根，所以方程有形如x(t)=Ae．把122t2t2t2t1x(t)代回原方程得4Ae+12Ae+5Ae=e，解得A=

5、，于是原方程通解21−t−5t12t为x(t)=ce+ce+e．12214、解：取ϕ(x)=00x22xϕ(x)=[x+ϕ(x)]dx=1∫020x252xxϕ(x)=[x+ϕ(x)]dx=+2∫12200x258112xxxxϕ(x)=[x+ϕ(x)]dx=+++3∫222016044000三、证明题2⎛⎞01⎛⎞t'⎛⎞2t⎜⎟1、证明：令Φ()t的第一列为ϕ()t=⎜⎟，这时ϕ()t==⎜⎟22ϕ()t，故ϕ()t1111⎝⎠2t⎝⎠2⎜⎟⎜⎟−2⎝⎠tt⎛⎞01'⎛⎞1⎜⎟是一个解．同样如果以ϕ()t表示Φ(t)第二列，我们有ϕϕ

6、==⎜⎟22()t，222⎝⎠0⎜⎟⎜⎟−2⎝⎠tt2这样ϕ(t)也是一个解．因此Φ()t是解矩阵．又因为detΦ(tt)=−≠0(t≠0)，故Φ(t)2是基解矩阵。2、证明：（1）Φ()t,Φ−(tt)是基解矩阵；0−1（2）由于Φ()t为方程x'=Ax的解矩阵，所以ΦΦ()tt()也是x'=Ax的解矩0−1阵，而当tt=时，ΦΦ=()()ttE，Φ()(tt−=Φ=0)E．故由解的存在唯一性00000−1定理，得ΦΦ()ttt()=Φ−(t)．00