常微分方程练习题(4)答案new

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1、《常微分方程》练习题（4）答案一、填空题dy1１、形如=f(x)g(x)的方程u=dxg(y)∂M∂N２、=∂y∂x３、存在常数Ｌ>0，对于所有(x,y),(xy)∈R都有使得不等式11,22f(x,y)−f(xy)≤Ly−y成立11,2212k−1MLk４、hk!５、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法n６、x(t)=cx(t)，其中cc,…,c是任意常数∑ii,12ni=1７、n个线性无关的解x(t),x(t),"x(t)称之为x′=A(t)x的一个基本解组12n８、ψ(t)＝φ(t)c(a≤t≤b)c为非奇异常数矩阵９、等于零稳定中

2、心10、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数不稳定鞍点或不稳定结点t−1−111、=φ(t)φ(t)η+φ(t)φ(s)f(s)ds0∫t0二、计算题ydey１、解：方程可化为=−e+4sinx−1dxydz令z=e，得=−z+4sinxdx由一阶线性方程的求解公式，得∫(−)1dx−∫(−)1dx−xx−xz=e(∫4sinxe)dx+c=e[]2(sinx−cosx)e+c=2(sinx−cosx)+cey−x所以原方程为：e＝2(sinx−cosx)+cedy２、解：设=p=sint，则有y=sect，从而dx12x=∫tg

3、t⋅sectdt+c=∫sectdt+t=tgt+c，故方程的解为sint22(x+c)+1=y，另外y=±1也是方程的解３、解：ϕ(x)=00x12ϕ(x)=xdx=x1∫02x141215ϕ(x)=(x+x)dx=x+x2∫04220x⎡12152⎤x⎛1411017⎞ϕ3(x)=∫⎢x+(x+x)⎥dx=∫⎜x+x+x+x⎟dx0⎣220⎦0⎝440020⎠121511118=x+x+x+x220440016021313４、解：对应的特征方程为：λ+λ+1=0，解得λ=−+i,λ=−−i1222221−t33所以方程的通解为：x=e2(ccost

4、+csint)12223−1±3i５、解：齐线性方程x′′′−x=0的特征方程为λ−1=0，解得λ=,1λ=，13,2211t−3−3故齐线性方程的基本解组为：e,e2cosi,e2sini，因为λ=1是特征根，22ttttt所以原方程有形如x(t)=tAe，代入原方程得，3Ae+Ate−Ate=e，所以111t−3−31tA=，所以原方程的通解为x=ce+ce2cosi+ce2sini+te1233223⎧−x−y+!=0⎧x=3⎧X=x−3６、解：⎨解得⎨所以奇点为（,3−)2经变换，⎨⎩x−y−5=0⎩y=−2⎩Y=y+3⎧dx=−X−Y⎪−1−

5、1dt方程组化为⎨因为≠,0又dy1−1⎪=X−Y⎩dtλ+112=(λ+)1+1=0所以λ=−1+i,λ=−1−i，故奇点为12−1λ+1稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。三、证明题−1１、证明：φ(t)为方程x′=Ax的基解矩阵φ(t)为一非奇异常数矩阵，所以0−1φ(t)φ(t)0也是方程x′=Ax的基解矩阵，且φ(t−t)也是方程x′=Ax0−1φ(t)的基解矩阵，且都满足初始条件φ(t)0=E，φ(t−t)=φ)0(=E00−1所以φ(t)φ(t)=φ(t−t)00