第三节 辐角原理及其应用

《第三节 辐角原理及其应用 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、§3辐角原理及其应用一、教学目标或要求：掌握幅角原理的准确叙述及其应用二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：对数留数幅角原理例题重点：幅角原理例题难点:幅角原理例题三、教学手段与方法：讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习：11－14§3辐角原理及其应用1．对数留数留数定理的另一个应用的考虑形如的复变函数在极点处的留数,以之导出辐角原理,提供确定解析函数零点个数的一个有效工具。积分称为的对数留数。引理6.4（1）设为的级零点，则必为的一级极　　　　　　　　点，且；（2）设为的级极点，则必为的一级极点，且。证（1）若设为的

2、级零点，则在的邻域内，　　　　，其中在的邻域内解析,且,于是,从而。由于在是邻域内解析,故可在的邻域内展开成Taylor级数,必定不含的　　　　　负幂项，因此必为的一级极点，且。（2）设为的级极点，则必为的级零点，由（1）的结论,必为的一级极点，且。定理6.9设为一条围线，满足条件：（1）在的内部除可能有极点外是解析的；（2）在上解析且不为零，则，其中与分别表示在内部的零点与极点的个数(一个级零点算作个零点，一个级极点算作个极点)。证由第五章(二)习题14知,在内部至多只有有限个零点和极点。设为在内部的不同零点，其级相应地为,为在内

3、部的不同极点,其级相应为。根据引理6.4，、都是的一级极点，于是，在内部及上除去　　、，外均解析，故由留数定理　　　　2.辐角原理辐角原理在定理6.9的条件下，函数在C内部的零点个数与极点个数之差，等于当z沿C之正向绕行一周后的改变量除以，即(6.27)特别地，如果在围线C上及C之内部均解析，且在C上不为零，则(6.28)证（大意）根据定理6.9，　　　注定理6.9（2）可减弱为“连续到边界,且沿,”，围线也可以是复围线。例,试验证辐角原理。证　　　故辐角原理成立。