复变函数6.3辐角原理及其应用

《复变函数6.3辐角原理及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、6.3辐角原理及即应用6.3.1对数留数6.3.2辐角原理6.3.3儒歇定理定义：形如积分称为f(z)的对数留数主要作用：推出辅角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法.特别是,可以研究在一个指定的区域内多项式零点个数的问题显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.6.3.1对数留数对数留数因此而得名证如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有引理6.4(1)设a为f(z)的n级零点(极点）,(2)设b为f(z)的m级极点a必为函数的一级极点,且必为函数的一级极点,且其中g(z)在点a的邻域内解析,

2、且g(a)≠0.于是(2)如b为f(z)m级极点在点b的去心邻域内有在点a的邻域内解析,的一级极点,且a必为h(z)在点b的邻域内解析,且h(b)≠0.在点b解析的一级极点,且故b为定理6.9设C是一条围线,f(z)合条件:(6.26)证由第五章习题(二)14,可知f(z)在C内部至多只有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,…p)为f(z)在C内部的不同零点,其阶数相应地为nk;bj(j=1,2,…,q)为f(z)在C内的不同极点,其阶数相应地为mj,(1)f(z)在C内部除可能有极点外是解析的;(2)

3、f(z)在C上解析且不为零则有式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数即：f(z)在C内是亚纯的(2)可改为f(z)在C上连续且不为零特别注意几阶算几个.在C内部及C上除去在C内部有一级极点ak(k=1,2,…p)及bj(j=1,2,…q)均是解析的.故由留数定理6.1,及引理6.4得则根据引理(6.4)知,例计算积分∆Cargf(z)表示z沿C之正向绕行一周时argf(z)的改变量(6.27)特别说来,如f(z)在周线C上及C之内部均解析,且f(z)在C上不为零,则(6.28)

4、6.3.2辐角原理(2)f(z)在C内是亚纯的(3)f(z)在C上连续且不为零(1)C是一条周线辅角原理xyOuvOw=f(z)例6.21设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C:

5、z

6、=3,试验证辐角原理argf(z)=arg((z-1)(z-2)2(z-4))N(f(z),C)=3argf(z)=arg(z-1)+arg(z-2)2+arg(z-4)=arg(z-1)+2arg(z-2)+arg(z-4)xyOuvOw=z-1

7、w+1

8、=3

9、z

10、=3w=z-2

11、w+2

12、=3w=z-4

13、w+4

14、=3=

15、6例6.22设n次多项式p(z)=a0zn+a1zn-1+…+an=0(a0≠0）在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面Rez<0内的充要条件是:RiRiCRROxyRP(z)的全部零点在左半平面内定理6.10(儒歇(Rouche)定理)证由假设f(z)与f(z)+(z)在C内部解析,且连续到C,在C上有

16、f(z)

17、>0,及6.3.3儒歇(Rouche)定理设C是一条周线,函数f(z)及(z)满足条件:(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;(2)在C上,

18、f(z)

19、>

20、(z)

21、f(z)与f(z

22、)+(z)在C内部有同样多的零点,即(6.30)由关系式(6.31)这样一来,这两个函数f(z)与f(z)+(z)都满足定理6.9的条件.由于这两个函数在C的内部解析,于是由(6.28),下面只须证明C0z图6.14根据条件(2),当z沿C变动时将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线,借助函数201即是说,点不会围着原点=0绕行.全在圆周

23、-1

24、=1的内部.推论1:设n次多项式p(z)=a0zn+…+atzn-t+…+an(a0≠0）满足条件：

25、at

26、>

27、a0

28、+…+

29、at-1

30、+

31、at+1

32、+…+

33、an

34、则p(z)在单位圆

35、z

36、<1内有n-t个零点证：令f(z)=atzn-t,(z)=a0zn+…+at-1zn-t+1+at+1zn-t-1+…+an则f(z)与(z)均在闭单位圆域

37、z

38、≤1上解析，而且在单位圆周

39、z

40、=1上有：

41、f(z)

42、=

43、at

44、>

45、a0

46、+…+

47、at-1

48、+

49、at+1+…+

50、an

51、≥

52、(z)

53、由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与f(z)在单位圆内有同样多的零点，即为n-t个推论2:n次方程(p(z)=)a0zn+a1zn-1+…+an=0(a0≠0）在复数域内有且

54、仅有n个根（几重根就算几个根）1.首先证明存在R>0，有n个根R方程在圆

55、z

56、

57、z0

58、=R0≥R，均有

59、p(z0)

60、>0无根证明1.令，f(z)=a0zn,(z)=a1zn-1+…+an=0则当

61、z

62、=R时，

63、(z)

64、≤

65、a1zn-1

66、+…+

67、an

68、=

69、a1

70、Rn-1+…+

71、an-1

72、R+

73、an

74、≤(

75、a1

76、+…+

77、an-1

78、+

79、an