6、点，f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0]=c–1（1）定理5.7(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线,则（3）Dz1z2z3znC1C2C3CnC证明把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注解1、留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。注解
7、2、具体计算一定要注意前面的系数一般来说求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.法则I二、函数在极点的留数求法例5.17求函数在各孤立奇点处的留数解：由于是的一阶极点，有法则II证明：由条件法则III解：因是的二阶极点，则由公式（5）有例5.19求函数在处的留数例函数在极点处的留数解：因为函数有两个一阶极点，且三、
8、函数在无穷远点的留数定义5.5设∞为f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在圆环域R<
9、z
10、<+∞内解析,则称设f(z)在R<
11、z
12、<+∞内的洛朗展式为这里C-是顺时针方向为f(z)在点∞的留数,记为这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R<
13、z
14、<+内洛朗展开式中z-1的系数变号.定理5.8如果f(z)在C∞上只有有限个孤立点(包括无穷远点在内),z1,z2,…，zn,∞,则f(z)在各点的留数总和为零.,证明：对于充分大的正数,使全在内，由留数定理得故得法则Ⅳ：例5.22求函数在它各有限奇点的留数总和。解：函数的有限奇点是2及，共
15、五个其中2是三阶极点，每个是二阶极点，显然，逐个求出在各奇点的留数，不论用规则2或展开洛朗级数，都是十分麻烦的，现在我们利用定理5.8来求：所以欲求的留数之和为1例5.23计算积分，其中为正向圆周：解：除外，被积函数的奇点是，据定理5.8有由于都在C的内部，课后作业一、思考题1，2，3二、习题五：7-10第三讲§5.3留数在定积分中的应用*§5.4对数留数与辐角原理.§5.3留数在定积分中的应用(Residueintheapplicationofdefiniteintegral)二、形如型积分一、形如的积分三、形如的积分在数学分析中往往要计算一些定
16、积分或反常积分，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；或者可以求出原函数，但计算也非常繁琐。在这种情况下把这些定积分的计算问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数。下面通过例子进行讨论.一、形如的积分并且在上连续.表示,的有理函数,这里令当经历变程时,z沿圆周
17、z
18、=1的正方向绕行一周.因此有例5.24求的值.解:由于,被积函数的分母在内不为零,因而积分是有意义的.在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周
19、z
20、=1内,其中z=0为二阶极点,z=p为一阶极点.例计算积分其中常数有两个极点在内只有一个极点二.形如型
21、积分其中为有理分式函数.于是求得为互质多项式,且合条件:定理5.9设为有理分式,其中(1)、,即比至少高两次，（2）在实轴上无零点，取积分路径如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包含在这积分路径内.z1z2z3yCR-RROx例5.25其中为有理分式函数.定理5.10设为有理分式函数.其中与为互质多项式,且满足条件:(1)、的次数比的次数高。(2)、在实轴上无零点。三、形如的积分注：公式（2）与（3）都要求在实轴上无零点，即在实轴上无孤立奇点，若在实轴上有孤立奇点，则将
22、(3)式实,虚部分开,得到形如:例求的值解：这里m=2,n=1,m-n=1.在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的，在
