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1、用Laurent级数的展开式计算积分根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得步骤：1.分析f(z)的解析性，确定解析环域；2.在包含积分路径C的解析环域里将函数展成Laurent级数因此，我们可以根据求出系数c-1的值来计算积分。1留数和留数定理一Δ、留数的定义和计算二、留数定理三*、函数在无穷远点的留数2设为的一个孤立奇点;.的某去心邻域包含的任一条正向简单闭曲线C.一Δ、留数的定义和计算定义在的留数(Residue),为3内的Laurent级数:在.计算留数40(高阶导数公式)0(柯西积分定理)5即在为中心的圆环的留数为的系数。在注域内的Laurent级数
2、中负幂项6计算留数的一般公式（1）若z0为函数f(z)的可去奇点，则它在点z0的留数为零。当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若g(ζ)为偶函数，则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z-z0的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得知成Laurent级数求(2)如果为的本性奇点,展开则需将7规则1o若z0为f(z)的一阶极点，则有(3)如果为的极点,则有如下计算规则规则2o若z0为f(z)的n阶极点，则对任意整数有8规则3如果设及在都解析，那末为的一级极点,且有9为的一级极点,的一级零点,为的一级极点，为证10典型例题例1求在的留数（n
3、为正整数）。解11例2求在的留数.分析是的三级零点由规则2得计算较麻烦.12如果利用Laurent展开式求系数c-1较方便：解13说明:如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开Laurent级数求c-1来计算留数。2.在应用规则2时,取得比实际的级数高.级数高能够使得计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般要将m因为有时把m取得比实际的如上例取14例3．求下列函数在指定点处的留数(1),;解：是函数的一级零点,又是函数的五级零点.于是它是的四级极点,可用规则计算其留数,其中n=4,为了计算简便应当取其中m=5,这时有15另
4、解：在点的去心邻域内的Laurent级数为例3．求下列函数在指定点处的留数(1),;其中n=4的项的系数为c-1=1/4!,从而也有16(2),;解：在点的去心邻域内的Laurent级数为显然为它的本性奇点,其中的项的系数为,于是得17注留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.留数定理点的一条正向简单闭曲线,奇点z1,z2,…,zn外处处解析,函数f(z)在区域D内除有限个孤立C是D内包围诸奇那末二、留数定理18证明首先在C的内部，环绕f(z)的每个奇点zk作互不相交且互不包含的正向小圆周Ck根据积分路径的复闭路定理得由定义1，
5、所证等式成立。19例1计算积分C为正向圆周:解被积函数的奇点（一级极点）和（二级极点）都在圆的内部,并且2021例2.计算积分解：在圆的内部有一个二级极点和两个一级极点,于是利用留数的计算规则和得22最后由留数定理得其积分值为23例3计算积分C为正向圆周:解被积函数有四个一级极点都在圆周的内部,所以由规则324例4计算积分C为正向圆周:解除被积函数点外无其他奇点，在圆外。25所以26设为的一个孤立奇点;的某去心邻域内的任一条正向简单闭曲线C:一Δ、函数在无穷远点的留数及计算定义在的留数(Residue)为27函数f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立推广的留
6、数定理奇点，设为，那末28定理若函数f(z)在环域内解析，则对包含圆
7、z
8、=R的任一条正向简单闭曲线C有证明：设f(z)在所给环域内的Laurent级数为由Laurent级数展开定理，则有29定理若函数f(z)在环域内解析，则对包含圆
9、z
10、=R的任一条正向简单闭曲线C有作变换，在点的去心邻域内解析，且在该邻域内有30例5计算下列积分,其中积分闭路取正向.(1)解：被积函数在环域内解析,它的7个奇点都在圆周的内部,用定理1计算非常困难,可是该积分满足定理2的条件,利用定理2得31例5计算下列积分,其中积分闭路取正向.(2)解：被积函数在环域内解析,其奇点为,
11、,其中,显然这些奇点有无穷多个,它们都在圆周的内部,不能用定理1计算其积分值;可是该积分函数满足定理2条件,于是由定理2得321若z0为函数f(z)的可去奇点（负幂项的项数为零个）,则它在点z0的留数为零。留数的计算3若z0为f(z)的一级极点，则有4若z0为f(z)的m级极点，则对任意整数有2当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若为偶函数，则f(z)在点z0的留数为零。[]0),(Re0=zzfs335设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。若，Q(z0)=0且，则z0为f(z)的一级极点，且有6由Laurent级
12、数展开定理，留数等于f(z)在环域内Laurent级数的负一次幂系
